7.7.問題31
7.7.P31
\(A \in M_n\) はエルミートかつ正則であり、部分空間 \(S \subset \mathbb{C}^n\) が与えられている。
\(A\) が \(S\) 上で正定値、すなわち任意の非零 \(x \in S\) に対して \(x^* A x > 0\) を満たすとする。
\(C^n\) 上で A が正定値となるために必要十分な条件は次のどちらか？
- (a) A が \(S^\perp\) 上で正定値である
- (b) A^{-1} が \(S^\perp\) 上で正定値である
証明を行う前に、例として
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad S = \text{span}\{e_1\}
を考えよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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