[行列解析7.7.P19]

7.7.問題19

単位円上で複素解析関数 \(f\) があり、\(f(0) = 0\) および \(f'(0) = 1\) と正規化されているとする。

Grunsky 不等式 (4.4.1) を考える。次が成り立つ理由を説明せよ。

(7.7.19)

\sum_{i,j=1}^n \frac{x_i \bar{x}_j}{1 - z_i \bar{z}_j} \ge \left| \sum_{i,j=1}^n x_i x_j \left( \frac{z_i z_j}{f(z_i) f(z_j)} \frac{}{} \frac{f(z_i) - f(z_j)}{z_i - z_j} \right) ^{\pm 1} \right|

任意の \(z_1, \dots, z_n \in \mathbb{C}\) (\(|z_i| \lt 1\))、任意の \(x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C}\)、任意の \(n = 1,2,\dots\) に対して成り立つのは、f が単射である場合に限る。