7.7.3 ローナーの半順序とスペクトル条件によるエルミート行列の比較
定理 7.7.3 \( A, B \in M_n \) をエルミート行列とし、\( A \) が正定値であると仮定する。このとき次の性質が成り立つ。
(a) \( B \) が半正定値行列であるとき、次の3つの条件は同値である。
(1) \( A \! B \)（または \( A " B \)）である。
(2) \( \rho(A^{-1}B) \le 1 \)（または \( \rho(A^{-1}B) \lt 1 \)）である。
(3) 半正定値な収縮行列（または厳密収縮行列）\( X \) が存在して、次を満たす：
B = A^{1/2} X A^{1/2}
(b) \( A^2 \! B^2 \)（または \( A^2 " B^2 \)）であることと、次の2つの条件が同値である。
(1) \( \sigma_1(A^{-1}B) \le 1 \)（または \( \sigma_1(A^{-1}B) \lt 1 \)）である。
(2) 収縮行列（または厳密収縮行列）\( X \) が存在して、次を満たす：
B = AX = X^{*}A
証明
(a) まず、前定理の (a) と (d) から次が従う：
A \! B \quad \Leftrightarrow \quad I = A^{-1/2} A A^{-1/2} \! A^{-1/2} B A^{-1/2}
よって次が成り立つ。
1 \ge \sigma_1(A^{-1/2} B A^{-1/2})
ここで \( A^{-1/2}BA^{-1/2} \) は半正定値なので、
\sigma_1(A^{-1/2} B A^{-1/2}) = \lambda_{\max}(A^{-1/2} B A^{-1/2})
= \lambda_{\max}(A^{-1} B)
さらに、(7.6.2(a)) より \( A^{-1}B \) の固有値はすべて実かつ非負であるため、
\lambda_{\max}(A^{-1} B) = \rho(A^{-1} B)
が成り立つ。逆に、もし \( B = A^{1/2} X A^{1/2} \) であり、\( X \) が半正定値な収縮行列であれば、
A^{-1} B = A^{-1/2} X A^{1/2}
となる。このとき \( A^{-1}B \) は半正定値収縮行列と相似であるため、
\rho(A^{-1} B) = \rho(X) = \sigma_1(X) \le 1
が成り立つ。\( A " B \) の場合も同様であるが、このとき
I = A^{-1/2} A A^{-1/2} " A^{-1/2} B A^{-1/2}
なので、\( 1 \gt \sigma_1(A^{-1/2} B A^{-1/2}) \) が成り立つ。
(b) \( B^2 \) は半正定値であるため、次が成り立つ：
A^2 \! B^2 \quad \Leftrightarrow \quad I \! A^{-1} B^2 A^{-1}
したがって、
1 \ge \sigma_1(A^{-1} B^2 A^{-1}) = \lambda_{\max}((A^{-1}B)(A^{-1}B)^{*}) = \sigma_1(A^{-1}B)^2
と書ける。ここで \( X = A^{-1}B \) とおくと、\( X \) は収縮行列であり、\( B = AX \) はエルミート行列であるため、
AX = X^{*} A
が成り立つ。逆に、もし \( X \) が収縮行列であり \( B = AX = X^{*}A \) ならば、
B^2 = A X X^{*} A
よって
A^2 - B^2 = A (I - X X^{*}) A
が半正定値である。したがって \( A^2 \! B^2 \) が成り立つ。
演習問題
\( A \) が正定値、\( B \) が半正定値であるとする。もし \( \sigma_1(A^{-1}B) \le 1 \) ならば、\( A \! B \) かつ \( A^2 \! B^2 \) が成り立つことを説明せよ。
ヒント：すべての \( X \in M_n \) に対して \( \sigma_1(X) \ge \rho(X) \) が成り立つ（式 (5.6.9) 参照）。
行列解析の総本山
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