4.4.P14
4.4.問題14
複素変数 \(z = [z_1 z_2 \dots z_n]^{\top}\) のベクトルとし、関数 \(f(z)\) をある領域 \(D \subset \mathbb{C}^n\) 上の複素解析関数とする。
このとき \(H = [\frac{\partial^2 f}{ \partial z_i \partial z_j}] \in M_n\) は、任意の \(z \in D\) で対称である。
(4.0.3) の議論から、線形偏微分作用素
\(L f = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(z) \frac{\partial^2 f}{ \partial z_i \partial z_j}\)
の係数行列 \(A = [a_{ij}]\) は対称であると仮定できる。
各点 \(z_0 \in D\) において、ユニタリ変数変換 \(z \to U \zeta\) により、新しい座標系で \(L\) が対角化される理由を説明せよ。
すなわち、\(L f = \sum_{i=1}^n \sigma_i \frac{\partial^2 f }{ \partial \zeta_i^2}\) であり、
\(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_n \ge 0\)
が \(z = z_0\) で成立する。
ヒント
各点 \(z_0\) において係数行列 \(A(z_0)\) は複素対称行列である。複素対称行列に対しては、通常のユニタリ相似変換ではなく、Takagi分解により \(A=U\Sigma U^{\top}\) と表せる。ここで \(U\) はユニタリ行列、\(\Sigma\) は非負の実対角行列であり、その対角成分を降順に並べることができる。この分解に対応する変数変換 \(z=U\zeta\) を考えれば、2階微分項の係数行列は \(\Sigma\) に変換される。
解答例
まず、\(f\) が複素解析関数であることから、混合偏微分の順序を交換できる。したがって、そのHessian行列
H=
\left[
\frac{\partial^2 f}{\partial z_i\partial z_j}
\right]
は
\frac{\partial^2 f}{\partial z_i\partial z_j}
=
\frac{\partial^2 f}{\partial z_j\partial z_i}
を満たす。よって \(H^{\top}=H\) であり、\(H\) は複素対称行列である。同様に、(4.0.3) の議論から、2階微分作用素の係数行列 \(A=[a_{ij}]\) も対称行列としてよい。
そこで、任意に固定した点 \(z_0\in D\) における係数行列 \(A(z_0)\) を考える。\(A(z_0)\) は複素対称行列なので、Takagi分解により、あるユニタリ行列 \(U\) と非負の実対角行列 \(\Sigma\) が存在して
A(z_0)=U\Sigma U^{\top}
と表せる。さらに、\(\Sigma\) の対角成分は特異値であるため、順序を並べ替えて
\Sigma=
\operatorname{diag}(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n),
\qquad
\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_n\geq0
とできる。
ここで、点 \(z_0\) の近くでユニタリ変数変換
z=U\zeta
を導入する。\(U\) は定数行列として考えるので、連鎖律から
\frac{\partial}{\partial z_i}
=
\sum_{k=1}^n\overline{u_{ik}}
\frac{\partial}{\partial\zeta_k}
となる。ここで \(U=[u_{ij}]\) である。したがって、2階微分項について
\frac{\partial^2}{\partial z_i\partial z_j}
=
\sum_{k,l=1}^n
\overline{u_{ik}}\,
\overline{u_{jl}}\,
\frac{\partial^2}{\partial\zeta_k\partial\zeta_l}
を得る。
したがって、\(L\) の2階微分項は
Lf
=
\sum_{i,j=1}^n
a_{ij}
\frac{\partial^2f}{\partial z_i\partial z_j}
=
\sum_{k,l=1}^n
\left(
\sum_{i,j=1}^n
\overline{u_{ik}}a_{ij}\overline{u_{jl}}
\right)
\frac{\partial^2f}{\partial\zeta_k\partial\zeta_l}.
ここで括弧内の係数は行列 \(U^*A\overline{U}\) の \((k,l)\) 成分である。よって、新しい座標系における係数行列は
U^*A(z_0)\overline{U}となる。
ところが、Takagi分解 \(A(z_0)=U\Sigma U^{\top}\) と \(U^*U=I\) から
\begin{aligned}
U^*A(z_0)\overline{U}
&=
U^*U\Sigma U^{\top}\overline{U}\\
&=
\Sigma U^{\top}\overline{U}\\
&=
\Sigma
\end{aligned}
となる。最後の等式では、ユニタリ行列 \(U\) に対して \(U^{\top}\overline{U}=I\) が成り立つことを用いた。
したがって、点 \(z_0\) において新しい座標 \(\zeta\) を用いると、2階微分項は
Lf
=
\sum_{i=1}^n
\sigma_i
\frac{\partial^2f}{\partial\zeta_i^2}
となる。すなわち、交差微分項 \( \partial^2f/\partial\zeta_i\partial\zeta_j \)（\(i\neq j\)）は消滅する。
以上のように、各点 \(z_0\) における対称行列 \(A(z_0)\) にTakagi分解を適用し、そのユニタリ行列 \(U\) を用いて \(z=U\zeta\) と変数変換すれば、係数行列は非負の実対角行列 \(\Sigma\) になる。したがって、
\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_n\geq0
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