[行列解析4.3.P27]

4.3.問題27

4.3.P27

\(A \in M_n, \; y, z \in \mathbb{C}^n, \; a \in \mathbb{C}\) を与える。\(1 \leq \mathrm{rank} A = r \lt n\) とし、

\hat{A} = \begin{bmatrix} A & y \\ z^T & a \end{bmatrix}, \quad \delta = \mathrm{rank} \hat{A} - \mathrm{rank} A

(a) 次を説明せよ。

\mathrm{rank}\begin{bmatrix} 0_n & y \\ z^T & a \end{bmatrix} \leq 2

従って \(1 \leq \delta \leq 2\) となる。
(b) 次の証明のスケッチの詳細を与えよ。すなわち、\(\delta = 2\) であるのは、\(y\) が \(A\) の列空間に含まれず、かつ \(z^T\) が \(A\) の行空間に含まれない場合に限る。(0.4.6(f)) を用いて

A = S \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r} \end{bmatrix} R

と書く。ただし \(S, R \in M_n\) は非特異である。さらに

S^{-1} y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}, \quad R^{-T} z = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix}, \quad y_1, z_1 \in \mathbb{C}^r

と分割する。このとき、\(y\) が \(A\) の列空間に含まれるのは \(y_2 = 0\) の場合に限られ、また \(z\) が \(A^T\) の列空間に含まれるのは \(z_2 = 0\) の場合に限られる。

さらに、

\mathrm{rank}\,\hat{A} = \mathrm{rank} \begin{bmatrix} I_r & 0 & y_1 \\ 0 & 0_{n-r} & y_2 \\ z_1^T & z_2^T & a \end{bmatrix} = r + 2

が成り立つのは、\(y_2 \neq 0 \neq z_2\) の場合に限る。
(c) \(A\) がエルミートで \(z = \bar{y}\) のとき、\(\delta = 2\) であるのは \(y\) が \(A\) の列空間に含まれない場合に限ることを説明せよ。(4.3.P21(a)) と比較せよ。