[行列解析4.3.P5]主要小行列式と固有値の符号判定

4.3.P5

4.3.問題5

\(A \in M\_n\) をエルミートとし、\(a\_k = \det A[\{1,\ldots,k\}]\) をサイズ \(k\) の主要小行列式とする (\(k=1,\ldots,n\))。すべての \(a\_k \neq 0\) であると仮定する。

このとき、\(A\) の負の固有値の数が、数列 \(+1, a\_1, a\_2, \ldots, a\_n\) における符号変化の数と等しいことを示せ。

さらに、\(A\) が正定値であるのは、すべての主要小行列式が正である場合に限ることを説明せよ。

もし \(a\_i = 0\) となる場合には何が起こるか?

エルミート行列に対してはシルベスターの慣性法則が成り立つ。主要小行列式の符号列 \( +1, a_1, a_2, \ldots, a_n \) の符号変化の回数が負の固有値の個数を与える。特にすべての主要小行列式が正であれば符号変化は起こらないので、固有値はすべて正となる。

エルミート行列 \( A \) に対して、主要小行列式 \( a_k = \det A[\{1,\ldots,k\}] \) を考える。ここで \( a_k \neq 0 \) がすべての \( k \) について成り立つと仮定する。

このとき、ガウス消去により \( A \) は対角行列に合同変換される。すなわち、ある正則行列 \( S \) が存在して

S^{\top} A S = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)

と書ける。このとき各対角成分は

d_k = \frac{a_k}{a_{k-1}}, \quad (a_0 = 1)

で与えられる。

したがって、対角成分 \( d_k \) の符号は \( a_{k-1} \) と \( a_k \) の符号の変化によって決まる。すなわち、列 \( +1, a_1, a_2, \ldots, a_n \) において符号が変わるたびに、対応する \( d_k \) は負になる。

一方、合同変換では固有値の符号の個数（慣性）は保存されるので、負の固有値の個数は負の対角成分の個数に等しい。よって、負の固有値の個数は

+1, a_1, a_2, \ldots, a_n

における符号変化の回数に等しい。

次に、\( A \) が正定値であるための必要十分条件を考える。正定値であるとはすべての固有値が正であることを意味する。したがって符号変化は一度も起こらない必要がある。

これは \( a_k > 0 \quad (k=1,\ldots,n) \) がすべて成り立つことと同値である。

最後に、もしある \( a_i = 0 \) となる場合には、上記の比 \( d_i = \frac{a_i}{a_{i-1}} \) が定義できなくなる。このとき消去過程で零ピボットが現れ、対角化の議論が直接適用できない。

この場合には、行列は正則でなくなり、零固有値を持つ可能性がある。したがって符号変化だけでは慣性を完全には決定できず、追加の解析が必要となる。