[行列解析4.1.P18]エルミート行列と二乗条件の同値性

4.1.P18

4.1.問題18

\(A \in M_n\) が与えられたとき、A がエルミートであることは \(A^2 = A^*A\) と同値であることを示せ。

エルミート行列の定義は \(A^* = A\) である。このとき \(A^2 = A^*A\) が直ちに従う。逆に \(A^2 = A^*A\) からは、差をとることで \((A - A^*)A = 0\) を得る。

これを用いて内積 \(x^*(A - A^*)Ax\) を考えると、\(A - A^* = 0\) が導ける。

まず、\(A\) がエルミート、すなわち \(A^* = A\) であるとする。このとき

A^2 = AA = A^*A

となり、\(A^2 = A^*A\) が成り立つ。

次に、\(A^2 = A^*A\) が成り立つと仮定する。このとき

A^2 - A^*A = 0 \quad \Longrightarrow \quad (A - A^*)A = 0

任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して両辺に \(x^*\) と \(x\) をかけると

x^*(A - A^*)Ax = 0

ここで左辺は

x^*A^2x - x^*A^*Ax

であり、これは実数である。特に、\(y = Ax\) とおくと

y^*Ay - y^*A^*y = 0 \quad \Longrightarrow \quad y^*(A - A^*)y = 0

任意の \(y \in \mathbb{C}^n\) に対して \(y^*(A - A^*)y = 0\) が成り立つので、エルミート部分の一意性より

A - A^* = 0

すなわち \(A = A^*\) であり、\(A\) はエルミートである。

以上より、\(A\) がエルミートであることと \(A^2 = A^*A\) は同値である。