3.3 問題21
3.3.P21
\( n \geq 2 \) とし、\( C_n \) を \( p(t) = t^n + 1 \) のコンパニオン行列 (3.3.12)、\( L_n \in M_n \) を主対角線の下の成分がすべて +1 である下三角行列、\( E_n = L_n - L_n^T \)、さらに \(\theta_k = \frac{\pi}{n}(2k+1), \, k = 0, 1, \ldots, n-1 \) とする。以下に、\( E_n \) のスペクトル半径が \(\cot \frac{\pi}{2n}\) であることの証明を示せ。(a) \( C_n \) の固有値は \(\lambda_k = e^{i\theta_k}, k = 0, 1, \ldots, n-1\) であり、それぞれに対応する固有ベクトルは \( x_k = [1, \lambda_k, \ldots, \lambda_k^{n-1}]^T \) である。(b) \( E_n = C_n + C_n^2 + \cdots + C_n^{n-1} \) であり、固有ベクトルは \( x_k \)、固有値は
\lambda_k + \lambda_k^2 + \cdots + \lambda_k^{n-1}
= \frac{\lambda_k - \lambda_k^n}{1 - \lambda_k}
= \frac{1 + \lambda_k}{1 - \lambda_k}
= \frac{e^{-i\theta_k/2} + e^{i\theta_k/2}}{e^{-i\theta_k/2} - e^{i\theta_k/2}}
= i \cot \frac{\theta_k}{2}
\( k = 0, 1, \ldots, n-1 \) のとき、固有値は上記のように与えられる。(c) よって \(\rho(E_n) = \cot \frac{\pi}{2n}\) である。
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