[行列解析3.3.P4]冪零行列と最小多項式の関係の証明

3.3.P4

3.3　問題4

\( A \in M_n \) で、ある \( k \gt n \) に対して \( A^k = 0 \) であると仮定する。

このとき、最小多項式の性質を用いて、ある \( r \leq n \) が存在して \( A^r = 0 \) となることを説明せよ。

\( A^k=0 \) であることから、行列 \( A \) は多項式 \( t^k \) を満たす。したがって最小多項式 \( m_A(t) \) は \( t^k \) を割り切る。

最小多項式の次数は高々 \( n \) であることを用いると、\( m_A(t)=t^r \)（ただし \( r\leq n \)）と書ける。これを用いて \( A^r=0 \) を導く。

\( A \in M_n \) がある整数 \( k>n \) に対して \( A^k=0 \) を満たすとする。

このとき行列 \( A \) は多項式 \( t^k \) を満たすので、

A^k=0

より、最小多項式 \( m_A(t) \) は \( t^k \) を割り切る。

したがって \( m_A(t) \) は

m_A(t)=t^r

と書ける。ただし \( r\leq k \) である。

さらに、最小多項式の次数は行列のサイズ \( n \) 以下であるから、

r\leq n

が成り立つ。

最小多項式の定義より、

m_A(A)=A^r=0

となる。

したがって、ある \( r\leq n \) が存在して \( A^r=0 \) が成り立つ。