3.3 この節の目次
- 3.3.1
- 3.3.2 正方行列の最小多項式
- 3.3.3 系
- 3.3.4 系
- 3.3.6
- 3.3.8
- 3.3.10
- 3.3.13 コンパニオン行列
- 3.3.14
- 3.3.15
- 3.3問題集
- 3.3.P1
- 3.3.P2
- 3.3.P3
- 3.3.P4
- 3.3.P5
- 3.3.P6
- 3.3.P7
- 3.3.P8
- 3.3.P9
- 3.3.P10
- 3.3.P11
- 3.3.P12
- 3.3.P13
- 3.3.P14
- 3.3.P15
- 3.3.P16
- 3.3.P17
- 3.3.P18
- 3.3.P19
- 3.3.P20
- 3.3.P21
- 3.3.P22
- 3.3.P23
- 3.3.P24
- 3.3.P25
- 3.3.P26
- 3.3.P27
- 3.3.P28
- 3.3.P29
- 3.3.P30
- 3.3.P31
- 3.3.P32
- 3.3.P33
- 3.3.P34
- 3.3.P35
3.3 最小多項式とコンパニオン行列
多項式 \( p(t) \) が \( A \in M_n \) を消去する（annihilate）とは、\( p(A) = 0 \) となることをいう。
ケイリー＝ハミルトンの定理 2.4.2 により、各 \( A \in M_n \) に対して、次数 \( n \) のモニック多項式 \( p_A(t) \)（特性多項式）が存在し、\( p_A(A) = 0 \) が成り立つことが保証される。
もちろん、次数 \( n-1 \) のモニック多項式で \( A \) を消去するものが存在するかもしれないし、さらに次数 \( n-2 \) 以下のものが存在するかもしれない。
特に重要なのは、\( A \) を消去する最小次数のモニック多項式である。
そのような多項式が存在することは明らかであり、(3.3.1)の定理はそれが一意であることを述べている。
参考文献.
(3.3.16) の最初の証明は、F. Kittaneh, "Singular values of companion matrices and bounds on zeroes of polynomials," SIAM J. Matrix Anal. Appl. 16 (1995) 333–340 にある。
任意の体上の行列の有理標準形についての議論は、Hoffman and Kunze (1971) の第 7.2 節、または Turnbull and Aitken (1945) の第 V.4 節を参照せよ。
(3.3.P34) で言及された結果は、J. Bračič and B. Kuzma, "Localizations of the Kleinecke–Shirokov theorem," Oper. Matrices 1 (2007) 385–389 で証明されている。
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