[行列解析3.2.P25]

3.2問題25

3.2.P25

\( A \in M_n \) が与えられ、\( A^2 \) が非退化であると仮定する。このとき以下を説明せよ。(a) \( A \) も非退化である。(b) \( \lambda \) が \( A \) の非零固有値ならば、\(-\lambda\) は \( A \) の固有値ではない。(c) \( A \) が特異ならば、固有値 0 の代数的重複度は 1 である。(d) \(\mathrm{rank}\,A \geq n-1\)。 (e) 多項式 \( p(t) \) が存在して \( A = p(A^2) \) となる。