3.2.P25
3.2問題25
\( A \in M_n \) が与えられ、\( A^2 \) が非退化であると仮定する。このとき以下を説明せよ。
(a) \( A \) も非退化である。
(b) \( \lambda \) が \( A \) の非零固有値ならば、\(-\lambda\) は \( A \) の固有値ではない。
(c) \( A \) が特異ならば、固有値 0 の代数的重複度は 1 である。
(d) \(\mathrm{rank}\,A \geq n-1\)。
(e) 多項式 \( p(t) \) が存在して \( A = p(A^2) \) となる。
ヒント
非退化（nonderogatory）とは、最小多項式と特性多項式が一致する行列のことである。したがって各固有値に対してジョルダンブロックは 1 つしか存在しない。条件 \(A^2\) が非退化であることから、\(A^2\) の固有値構造が強く制限される。固有値の関係 \(A v=\lambda v\) ならば \(A^2 v=\lambda^2 v\) を利用すると、\(A\) の固有値の配置に制約が生じる。また特性多項式やジョルダン標準形の性質を用いることで、核の次元や階数についての主張も導かれる。
解答例
(a) まず \(A^2\) が非退化であると仮定する。非退化行列では、各固有値に対してジョルダンブロックは 1 個しか存在しない。\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、対応する固有ベクトル \(v\neq0\) に対して
Av=\lambda v
が成り立つ。このとき
A^2 v=\lambda^2 v
となるので、\(A^2\) の固有値は \(\lambda^2\) である。もし \(A\) に同じ固有値に対して複数のジョルダンブロックが存在すると、それらは \(A^2\) においても複数のブロックを与える。これは \(A^2\) が非退化であることに矛盾する。したがって \(A\) も非退化である。
(b) \(\lambda\neq0\) が \(A\) の固有値であるとする。すると \(A^2\) の固有値は \(\lambda^2\) である。もし \(-\lambda\) も \(A\) の固有値であれば、対応する固有ベクトル \(v,w\) に対して
Av=\lambda v,\quad Aw=-\lambda w
となる。すると
A^2 v=\lambda^2 v,\quad A^2 w=\lambda^2 w
となり、固有値 \(\lambda^2\) に対して少なくとも 2 個の独立な固有ベクトルが存在する。これは \(A^2\) が非退化であること（各固有値に対してジョルダンブロックが 1 つ）に矛盾する。したがって \(-\lambda\) は \(A\) の固有値ではない。
(c) \(A\) が特異であるとする。このとき固有値 0 が存在する。もし固有値 0 の代数的重複度が 2 以上であれば、\(A^2\) においても固有値 0 のジョルダンブロックが複数存在することになる。これは \(A^2\) が非退化であることに矛盾する。したがって固有値 0 の代数的重複度は
1
である。
(d) 固有値 0 の代数的重複度が 1 であるので、核の次元は高々 1 である。したがって
\dim \ker A \le 1
である。階数・零化度定理より
\mathrm{rank}\,A = n-\dim\ker A
であるから
\mathrm{rank}\,A \ge n-1
が従う。
(e) (b) より、\(A\) の固有値 \(\lambda\neq0\) に対して \(-\lambda\) は固有値ではない。したがって固有値 \(\lambda\) は値 \(\lambda^2\) によって一意に決定される。つまり、ある関数 \(f\) が存在して
\lambda = f(\lambda^2)
と書ける。この関数を固有値上で定義し、多項式補間を用いれば多項式 \(p(t)\) が存在して
A = p(A^2)
となる。すなわち \(A\) は \(A^2\) の多項式として表すことができる。
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