3.2.P22
3.2問題22
\(A\in M_n\) に対して、\(A A^D\) と \(I-A A^D\) が射影（projection）であり、かつ \(A A^D(I-A A^D)=0\) であることを示せ。
ヒント
行列 \(A\) の Drazin 逆行列 \(A^D\) は \(A^kA^D=A^DA^k\), \(A^DAA^D=A^D\) などの性質を満たす。これらを用いて \((AA^D)^2\) と \((I-AA^D)^2\) を計算すると、それぞれ自分自身に等しいことが分かる。さらに積 \(AA^D(I-AA^D)\) を直接計算すると零行列になる。
解答例
行列 \(A\in M_n\) の Drazin 逆行列を \(A^D\) とする。このとき Drazin 逆行列の基本性質として
A^DAA^D=A^D
が成り立つ。
まず行列 \(AA^D\) が射影であることを示す。積を計算すると
(AA^D)^2 =AA^DAA^D =A(A^DAA^D) =AA^D
となる。したがって \( (AA^D)^2=AA^D \) であり、\(AA^D\) は射影行列である。
次に \(I-AA^D\) について同様に計算すると
(I-AA^D)^2 =I-2AA^D+(AA^D)^2 =I-2AA^D+AA^D =I-AA^D
となる。よって \( (I-AA^D)^2=I-AA^D \) であり、これも射影行列である。
最後に両者の積を計算すると
AA^D(I-AA^D) =AA^D-(AA^D)^2 =AA^D-AA^D =0
となる。したがって \(AA^D\) と \(I-AA^D\) は射影であり、さらに \(AA^D(I-AA^D)=0\) が成り立つ。
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