[行列解析3.1.P16]

3.1問題16

3.1.P16

ここで λ ≠ 0 かつ k ≥ 2 とする。

このとき \( J_k(\lambda)^{-1} \) は \( J_k(\lambda) \) の多項式で表される (2.4.3.4)。

(a) \( J_k(\lambda)^{-1} \) が上三角テプリッツ行列であり、その主対角成分がすべて \( \lambda^{-1} \) であることを説明せよ。

(b) \( J_k(\lambda)^{-1} \) の第1行が \([ \lambda^{-1}, a_2, \ldots, a_n ]\) であるとする。

\( J_k(\lambda)J_k(\lambda)^{-1} \) の (1,2) 成分が \( \lambda a_2 + \lambda^{-1} \) であることを確認し、さらに \( J_k(\lambda)^{-1} \) の第1超対角成分がすべて \(-\lambda^{-2}\) である理由を説明せよ。

特に、これらの成分はすべて 0 でない。

(c) \(\mathrm{rank}( (J_k(\lambda)^{-1} - \lambda^{-1} I)^k ) = n-k\) が \( k = 1, \ldots, n \) について成り立つことを示し、\( J_k(\lambda)^{-1} \) のジョルダン標準形が \( J_k(\lambda^{-1}) \) である理由を説明せよ。