8.3.問題集
この節では、非負行列に関するペロン・フロベニウスの性質や既存の定理（8.2.11, 8.3.1など）に関連するいくつかの演習問題を扱う。以下の問題を通して、非負行列の固有値・固有ベクトルに関する理論の限界や成立条件を確認する。
8.3.P1
次のことを例によって示せ。
（8.2.11）の項目のうち（8.3.1）に含まれないものは、すべての非負行列について一般には成立しない。
\frac{|\lambda_{n-1}|}{\rho(A)} \le \frac{1 - \kappa^2}{1 + \kappa^2}
8.3.P2
\( A \in M_n \) が非負行列であり、ある \( k \ge 1 \) に対して \( A^k \) が正の要素をもつ行列（すなわち正行列）であるとする。
このとき、\( A \) は正の固有ベクトルをもつことを示せ。
8.3.P3
非負な三重対角行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) について、\( A \) のすべての固有値は実数であることを示せ。
8.3.P4
次の一般化が誤りであることを例によって示せ。 「\( A \in M_n \) が非負行列で、非負の固有ベクトル \( x \) をもつとき、\( Ax = \rho(A)x \) が成り立つ」。
8.3.P5
次の行列とベクトルを考える：
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}, \quad
x = \begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix}.
なぜ \( A \) が正の左固有ベクトルをもつという仮定を省くと、定理（8.3.5）が成立しない場合があるのかを説明せよ。
8.3.P6
\( A \in M_n \) が非負かつ零でない行列であるとする。
(a) \( A \) が正の行列 \( B \) と可換であるならば、\( B \) の左ペロンベクトルおよび右ペロンベクトルは、それぞれ \( A \) の固有値 \( \rho(A) \) に対応する左・右固有ベクトルであることを示せ。
(b) (a)の結果を、(1.3.19)の内容と比較し、その違いと共通点を論じよ。
(c) \( A \) が正の左および右固有ベクトルをもつ場合、\( A \) と可換な正の行列が存在することを示せ。
8.3.P7
\( A \in M_n \) が非負行列であるとする。
(a) \( A \) が \( r \ge 1 \) 個の正の成分と \( n - r \) 個の零成分をもつ非負固有ベクトルをもつと仮定する。このとき、ある順列行列 \( P \) が存在して、次が成り立つことを示せ。
P^T A P =
\begin{bmatrix}
B & C \\
0 & D
\end{bmatrix},
ここで、\( B \in M_r \)、\( D \in M_{n-r} \) は非負行列であり、\( B \) は正の固有ベクトルをもつ。 さらに \( r \lt n \) の場合、\( A \) は既約でない（すなわち可約である）ことを結論せよ。
(b) \( A \) が既約であることと、すべての非負固有ベクトルが正であることが同値である理由を説明せよ。
8.3.P8
\( A \in M_n \) を非負行列とする。前問を利用して、\( A \) が既約であるか、または次のような順列行列 \( P \) が存在することを示せ。
P^T A P =
\begin{bmatrix}
A_1 & * & \cdots & * \\
0 & A_2 & \cdots & * \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & A_k
\end{bmatrix}
\tag{8.3.6}
ここで各対角ブロック \( A_1, \dots, A_k \) は既約であり、場合によっては \(1 \times 1\) の零行列であってもよい。この形を 既約標準形（Frobenius normal form） と呼ぶ。
さらに、次が成り立つことに注意せよ。
\sigma(A) = \sigma(A_1) \cup \cdots \cup \sigma(A_k)
（重複度を含む）。したがって、非負行列の固有値は、零（任意の重複度をもつ可能性がある）および有限個の非零既約非負行列のスペクトルの和集合である。（8.4.6）では、これら既約成分のスペクトルの特別な性質について述べる。なお、既約標準形は一意とは限らない。
8.3.P9
\( A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R}) \) のうち、非対角成分がすべて非負である行列を本質的に非負（essentially nonnegative）という。
\( A \) が本質的に非負であるとき、ある \( \lambda > 0 \) が存在して \( \lambda I + A \ge 0 \) となる理由を説明せよ。この事実と（8.3.1）を用いて、\( A \in M_n \) が本質的に非負ならば、次の性質をもつ実固有値 \( r(A) \)（しばしば \( A \) の支配固有値と呼ばれる）が存在することを示せ。
r(A) \ge \mathrm{Re}\,\lambda_i
ここで、\( \lambda_i \) は \( A \) の任意の固有値である。さらに、\( r(A) \) は必ずしも最大絶対値の固有値である必要はないが、もし \( A \) が非負であるならば \( r(A) = \rho(A) \) となることを示せ。
8.3.P10
\( A \in M_n \) を非負行列とし、次の実対称非負行列を考える：
H(A) = \tfrac{1}{2}(A + A^T)
このとき、次が成り立つことを示せ。
\rho(A) \le \lambda_{\max}(H(A))
8.3.P11
\( A \in M_n \) を非負行列とする。
(a) \( A \) の特性多項式は次のように因数分解できることを説明せよ。
p_A(t) = (t - \rho(A))\,g(t)
ただし、
g(t) = t^{n-1} + \gamma_1 t^{n-2} + \gamma_2 t^{n-3} + \cdots
ここで \( \gamma_1 = \rho(A) - \mathrm{tr}\,A \) である。したがって、\( \gamma_1 = 0 \) であるのは \( \mathrm{tr}\,A = \rho(A) \) のときに限る。
(b) \( n = 3 \) かつ \( \mathrm{tr}\,A = \rho(A) > 0 \) のとき、\( A \) の固有値は次のようになることを説明せよ。
\rho(A), \quad \pm\sqrt{\dfrac{\det A}{\rho(A)}}
これらの固有値は実数または純虚数である。
(c) 魔方陣（magic square）とは、成分が 1 から \( n^2 \) までの異なる整数で構成され、行・列および主対角線と副対角線の和がすべて等しい \( n \times n \) の正の行列である。 \( A \in M_n \) が魔方陣であるとき、次を説明せよ。
\rho(A) = \tfrac{1}{2}n(n^2 + 1)
このとき、\( \rho(A) \) は \( A \) の固有値であり、特性多項式は次の形で表される。
p_A(t) = (t - \rho(A))(t^{n-1} + \gamma_2 t^{n-3} + \cdots)
8.3.P12
\( A \in M_n \) を非負行列とする。次を示す。
\(\mathrm{adj}(\rho(A)I - A)\) は非負行列である。
(a) 実数 \( r \) が \( r > \rho(A) \) を満たすとき、\( \det(rI - A) > 0 \) であることを示せ。
(b) \( r > \rho(A) \) のとき、\( (rI - A)^{-1} \) が正の行列であることを示せ。
(c) (a)および(b)から、\( \mathrm{adj}(rI - A) > 0 \) であることを導け。
(d) 最後に、\( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) \ge 0 \) であることを結論せよ。
8.3.P13
\( A \in M_n \) を非負行列とする。
(a) \( \rho(A) \) の幾何的重複度が1より大きい場合、\( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = 0 \) であることを説明せよ。
(b) \( \rho(A) \) の代数的重複度が1より大きい場合、\( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) \) はゼロでない可能性があるが、その主対角成分がすべてゼロである理由を説明せよ。
8.3.P14
\( A \in M_n \) を非負行列とする。次を説明せよ。
(a) \( \rho(A) \) が幾何的重複度1より大きいことがあり得るが、その場合、\( \rho(A)I - A \) のすべての小行列式（minor）がゼロでなければならない。
(b) \( \rho(A) \) が代数的重複度1より大きいことがあり得るが、その場合、\( \rho(A)I - A \) のすべての主小行列式（principal minor）がゼロでなければならない。
8.3.P15
実数行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R}) \) について、すべての \( i \neq j \) に対して \( a_{ij} \le 0 \) が成り立ち、さらに \( A \) のすべての実固有値が正であるとする。このような行列を M-行列 と呼ぶ。以下では、\( A^{-1} \) が非負行列であることを示す。
(a) まず、\( \mu = \max a_{ii} \) とおく。このとき \( \mu > 0 \) である。
(b) 次に、\( B = \mu I - A \) とおくと、\( B \) は非負行列となる。また、\( \rho(B) \)（スペクトル半径）は \( B \) の固有値である。
(c) \( \mu - \rho(B) \) は \( A \) の固有値であることから、\( \mu > \rho(B) \) が成り立つ。
(d) 以上より、
A^{-1} = \mu^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} \mu^{-k} B^{k} \ge 0
が成り立ち、したがって \( A^{-1} \) は非負行列である。この結果の特別な場合は問題 (7.2.P31) を参照のこと。
8.3.P16 M-行列と単調行列の性質
次に、実行列 \( A, B \in M_n(\mathbb{R}) \) について考える。
(a) \( A \) が非特異であり、かつ \( A^{-1} \) が非負であることは、任意の \( x, y \in \mathbb{R}^n \) に対して \( Ax \ge Ay \) ならば \( x \ge y \) が成り立つことと同値である。
(b) この同値条件のいずれかを満たす行列 \( A \) を 単調行列（monotone matrix） と呼ぶ。もし \( A \) および \( B \) が単調行列であれば、積 \( AB \) も単調行列となることを示せ。
(c) すべての M-行列が単調行列である理由を説明せよ。
参考文献
非負行列の固有値構造に関する研究として、以下を参照のこと。
C. R. Johnson, R. B. Kellogg, and A. B. Stephens, Complex eigenvalues of a nonnegative matrix with a specified graph II, Linear Multilinear Algebra 7 (1979) 129–143.
C. R. Johnson, Row stochastic matrices similar to doubly stochastic matrices, Linear Multilinear Algebra 10 (1981) 113–130.
また、Bapat と Raghavan (1997) の著書は、非負行列に関する結果を網羅的にまとめた重要な参考書である。さらに、Horn と Johnson (1991) の第2.5節には、M-行列の18通りの同値な特徴づけが掲載されている。
行列解析の総本山
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