[行列解析8.0.P2]

8.0.問題2

次の行列を考える。

A_\varepsilon = \begin{bmatrix} (1 + \varepsilon)^{-1} & (1 + \varepsilon)^{-1} \\ \varepsilon^2 (1 + \varepsilon)^{-1} & (1 + \varepsilon)^{-1} \end{bmatrix}, \quad \varepsilon \gt 0

(a) 固有値 \( \lambda_2 = 1 \) が単純固有値であり、スペクトル半径 \( \rho(A_\varepsilon) = \lambda_2 = 1 \)、さらに \( 1 \gt |\lambda_1| \) が成り立つことを示せ。

(b) 次のベクトル

x = (1 + \varepsilon)^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ \varepsilon \end{bmatrix}, \quad y = (1 + \varepsilon)(2\varepsilon)^{-1} \begin{bmatrix} \varepsilon \\ 1 \end{bmatrix}

が、それぞれ \( A_\varepsilon \) および \( A_\varepsilon^{T} \) の固有ベクトルであり、固有値 \( \lambda = 1 \) に対応することを示せ。

(d) 次を示せ。

\lim_{m \to \infty} A_\varepsilon^m = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & \varepsilon \\ -\varepsilon^{-1} & 1 \end{bmatrix}

(e) \( xy^T \) を計算し、その意味について考察せよ。

(f) \(\varepsilon \to 0\) のときに何が起こるかを述べよ。