人口移動モデルと行列の漸近挙動
\( n \ge 2 \) 個の都市 \( C_1, C_2, \ldots, C_n \) の間で、次のような人口移動が行われると仮定する。
毎日午前8時に、各都市 \( j \) の現住人口の一定割合 \( a_{ij} \) が都市 \( i \) に移動する。ただし \( i \ne j \) のときであり、都市 \( j \) に残る人口の割合は \( a_{jj} \) である。
したがって、都市 \( i \) の \( m \) 日目の人口を \( p_i^{(m)} \) とすると、次の漸化式が成り立つ。
p_i^{(m+1)} = a_{i1}p_1^{(m)} + a_{i2}p_2^{(m)} + \cdots + a_{in}p_n^{(m)}, \quad i = 1, \ldots, n, \; m = 0, 1, \ldots
ここで、移動係数の \( n \times n \) 行列を \( A = [a_{ij}] \)、\( m \) 日目の人口分布ベクトルを \( p^{(m)} = [p_i^{(m)}] \) とすれば、
p^{(m+1)} = A p^{(m)} = A^2 p^{(m-1)} = \cdots = A^{m+1} p^{(0)}, \quad m = 0, 1, \ldots
ここで \( p^{(0)} \) は初期の人口分布を表す。すべての \( i, j \) について \( 0 \le a_{ij} \le 1 \) が成り立ち、さらに各列について次が成り立つ。
\sum_{i=1}^{n} a_{ij} = 1, \quad j = 1, \ldots, n.
政府当局は、都市サービスや資本投資の長期計画を立てるために、将来、各都市に人口がどのように分布するか、すなわち \( m \) が大きいときの \( p^{(m)} \) の漸近的挙動を知りたい。
ところが \( p^{(m)} = A^m p^{(0)} \) なので、問題は \( A^m \) の漸近挙動を調べることに帰着する。
2都市の場合の解析
例として、2つの都市の場合を詳しく考える。
このとき、 \( a_{11} + a_{21} = 1 = a_{12} + a_{22} \) が成り立つ。
ここで \( a_{21} = \alpha \)、\( a_{12} = \beta \) とおくと、
A =
\begin{bmatrix}
1 - \alpha & \beta \\
\alpha & 1 - \beta
\end{bmatrix}.
ここで \( A^m \) の \( m \to \infty \) における挙動を調べたい。
もし \( A \) が対角化可能ならば、\( A^m \) を明示的に計算できる。まず固有値を求めると、
\lambda_2 = 1, \quad \lambda_1 = 1 - \alpha - \beta.
\( 0 \le \alpha, \beta \le 1 \) より \( |\lambda_1| = |1 - \alpha - \beta| \le 1 = \lambda_2 \) が成り立つ。したがって、\( \rho(A) = 1 \)（スペクトル半径）は \( A \) の固有値である。自明な場合 \( \alpha = \beta = 0 \)（このとき \( A \) は既約でない）を除けば、\( \lambda_2 = 1 = \rho(A) \) は単純固有値である。
\( \alpha + \beta \ne 0 \) のとき、対応する固有ベクトルは、\( \lambda_2 = 1 \) に対して \( x = [\beta \; \alpha]^T \)、\( \lambda_1 \) に対して \( z = [1 \; -1]^T \) である。この場合 \( A \) は対角化可能であり、
A = S \Lambda S^{-1},
ここで
\Lambda =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 - \alpha - \beta
\end{bmatrix},
\quad
S =
\begin{bmatrix}
\beta & 1 \\
\alpha & -1
\end{bmatrix},
\quad
S^{-1} = \frac{1}{\alpha + \beta}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
\alpha & -\beta
\end{bmatrix}.
固有ベクトル \( x \) の成分は非負であり、\( A \) が既約であれば正である。
また、もし \( \alpha \) と \( \beta \) がともに1でないならば、\( |1 - \alpha - \beta| \lt 1 \) となり、したがって \( \lambda_1^m \to 0 \) （\( m \to \infty \)）となる。このとき、
\lim_{m \to \infty} A^m
= S \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} S^{-1}
= \frac{1}{\alpha + \beta}
\begin{bmatrix}
\beta & \beta \\
\alpha & \alpha
\end{bmatrix}.
したがって、平衡状態の人口分布は次のようになる。
\lim_{m \to \infty} p^{(m)}
= \frac{1}{\alpha + \beta}
\begin{bmatrix}
\beta & \beta \\
\alpha & \alpha
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_1^{(0)} \\ p_2^{(0)}
\end{bmatrix}
= \frac{p_1^{(0)} + p_2^{(0)}}{\alpha + \beta}
\begin{bmatrix}
\beta \\ \alpha
\end{bmatrix}.
この結果は初期分布に依存しない。
すなわち、\( A^m \) は固有値 1 に対応する固有ベクトル \( x \) に比例した列をもつ極限行列に収束し、最終的な人口分布もこの固有ベクトルに比例する。
例外的な2つのケース
(1) \( \alpha = \beta = 0 \) のとき、\( A = I \) であり、\( \lim_{m \to \infty} A^m = I \) だから \( \lim_{m \to \infty} p^{(m)} = p^{(0)} \)。
この場合、最終分布は初期分布に依存する。
(2) \( \alpha = \beta = 1 \) のとき、
A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix},
となり、2つの都市が毎日全人口を入れ替える。
この場合、\( A^m \) は収束せず、初期分布が異なるときは人口分布も収束しない。
ただし、次の意味で「平均的平衡」が存在する。
\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} A^k
=
\begin{bmatrix}
0.5 & 0.5 \\
0.5 & 0.5
\end{bmatrix},
\quad
\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} p^{(k)}
= \frac{p_1^{(0)} + p_2^{(0)}}{2}
\begin{bmatrix}
1 \\ 1
\end{bmatrix}.
この結果は、長期的には両都市が平均的に等しい人口を持つことを示している。
演習
以下の2つの極限に関する主張が正しいことを確認せよ。
この例から、次のような事実が得られた。
1. スペクトル半径 \( \rho(A) \) は、単に固有値の絶対値ではなく、実際に \(A\) の固有値である。
2. 固有値 \( \rho(A) \) に対応する固有ベクトル \( x \) は、成分がすべて非負となるように選ぶことができる。さらに、もし \(A\) が既約（irreducible）であれば、その成分はすべて正である。
3. \(A\) のすべての成分が正である場合、\( \rho(A) \) は単純固有値（重複度1の固有値）であり、他のどの固有値の絶対値よりも大きい。
4. \(A\) のすべての成分が正である場合、次の極限
\lim_{m \to \infty} \left( \frac{A}{\rho(A)} \right)^m
は存在し、階数1の行列となる。その各列は、固有ベクトル \(x\) に比例している。
5. たとえ \(A\) のいくつかの成分が 0 であっても、次の極限
\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{A}{\rho(A)} \right)^k
は存在する。
これらの結論は一般に \( n \ge 2 \) の場合にも成り立つが、単純な直接法によって一般の場合を解析することはできない。そのため、新しい手法が必要となり、この章の残りの部分でそれが展開される。
行列解析の総本山
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