[行列解析5.4.P1]

5.4.問題1

式 (5.4.5) が次のように同値に表される理由を説明せよ：

C_m(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta) \\ \le \frac{\|x\|_\beta}{\|x\|_\alpha} \\ \le C_M(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta), \\ \quad x \neq 0

ここで、\( C_m(\cdot, \cdot) \) および \( C_M(\cdot, \cdot) \) は (5.4.5) の各ノルムに関して得られる最適定数を示す。さらに、次を示せ：

C_m(\|\cdot\|_\beta, \|\cdot\|_\alpha) \\ = \frac{1}{C_M(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta)}