[行列解析4.4.P5]

4.4.問題5

行列 \(A \in M_n\) とする。

(a) (2.5.20(a)) を用いて、\(A\) が複素対称行列にユニタリ相似であることと、
対称ユニタリ行列によって \(A\) が \(A^T\) に相似であることは同値であることを示せ。

(b) \(A\) が \(A^T\) にユニタリ相似で \(n \in \{2, \dots, 7\}\) の場合、
\(A\) は複素対称行列にユニタリ相似であるが、\(n=8\) の場合はそうではない。

参照: S. R. Garcia and J. E. Tener, Unitary equivalence of a matrix to its transpose, J. Operator Theory 68 (2012) 179–203。

(c) しかし、\(A \oplus A^T\) は常に自分の転置にユニタリ相似である。

次の行列を用いて証明せよ：

\begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}