4.4.25
系 4.4.25.
\( A \in M_n \) が与えられたとする。このとき、対称行列 \( B, C \in M_n \) が存在して、
A = BC
が成り立つ。さらに、\( B \) または \( C \) のいずれかを非特異に選ぶことができる。
証明.
前の定理を用いて
A = S E S^{-1}
と書ける。ここで \( E = E^{\top} \)、かつ \( S \) は非特異である。すると、
A = (S E S^{\top}) S^{-\top} S^{-1}
= (S E S^{\top})(S S^{\top})^{-1}
= (S S^{\top})(S^{-\top} E S^{-1})
が成り立つ。
次の補題は、複素対称行列の対角化を議論する際に有用である。
[行列解析4.4]ユニタリ合同と複素対称行列
この節の目次4.4.2 補題4.4 ユニタリ合同と複素対称行列複素エルミート行列と複素対称行列は、ともに複素平面における単位円板の解析写像の研究に現れる。もし \( f \) が単位円板上の複素解析関数で、正規化条件 \( f(0) = 0...
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