[行列解析4.4.P14]

4.4.問題14

複素変数 \(z = [z_1 z_2 \dots z_n]^T\) のベクトルとし、関数 \(f(z)\) をある領域 \(D \subset \mathbb{C}^n\) 上の複素解析関数とする。

このとき \(H = [\partial^2 f / \partial z_i \partial z_j] \in M_n\) は、任意の \(z \in D\) で対称である。

(4.0.3) の議論から、線形偏微分作用素

\(L f = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(z) \partial^2 f / \partial z_i \partial z_j\)

の係数行列 \(A = [a_{ij}]\) は対称であると仮定できる。

各点 \(z_0 \in D\) において、ユニタリ変数変換 \(z \to U \zeta\) により、新しい座標系で \(L\) が対角化される理由を説明せよ。

すなわち、\(L f = \sum_{i=1}^n \sigma_i \partial^2 f / \partial \zeta_i^2\) であり、

\(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_n \ge 0\)

が \(z = z_0\) で成立する。