[行列解析4.3.P10]

4.3.問題10

4.3.P10

\(A = [a\_{ij}] \in M\_n\) が正規行列であるとする。このとき、\(A = U \Lambda U^\*\) が成り立ち、ここで \(U = [u\_{ij}] \in M\_n\) はユニタリ行列、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda\_1,\ldots,\lambda\_n) \in M\_n\) は実数である必要はない。次を示せ。

S = [|u\_{ij}|^2] \text{ は二重確率行列であり}, \quad \mathrm{diag}(A) = S (\mathrm{diag}(\Lambda))

ユニタリ行列 \(U\) からこのように得られる二重確率行列 \(S\) を ユニストキャスティック (unistochastic) という。もし \(U\) が実行列なら（例えば (4.3.52) の証明のように）、その場合 \(S\) は オルソストキャスティック (orthostochastic) と呼ばれる。