[行列解析4.3.21]定理

4.3.21

定理 4.3.21.

実数列 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) および \(\mu_1, \ldots, \mu_{n+1}\) が次の相互はさみ込み不等式を満たすとする。

\mu_1 \le \lambda_1 \le \mu_2 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_{n-1} \le \mu_n \le \lambda_n \le \mu_{n+1}

\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\) とおく。実数 \(a\) と実ベクトル \(y=[y_i]\in\mathbb{R}^n\) を適当に選べば，次で定義される行列

A = \begin{bmatrix} \Lambda & y \\ y^T & a \end{bmatrix} \in M_{n+1}(\mathbb{R})

の固有値を \(\mu_1,\ldots,\mu_{n+1}\) にできる、ということを示す。

証明（概略）.

我々は \(A\) の固有値を \(\mu_1,\dots,\mu_{n+1}\) にしたいので，まずトレース等式から \(a\) は一意に決まる：

\mu_1 + \cdots + \mu_{n+1} = \operatorname{tr}A = \operatorname{tr}\Lambda + a = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n + a.

次に特性多項式 \(p_A(t)=\prod_{i=1}^{n+1}(t-\mu_i)\) を，行列式の展開で書き下すと次の等式が得られる（adj を随伴行列とする）：

p_A(t) = \det(tI - A) = (t-a)\det(tI - \Lambda) - y^T \operatorname{adj}(tI - \Lambda)\, y.

対角行列 \(tI-\Lambda\) に対する adj の成分を展開すると，明示的に

p_A(t) = (t-a)\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i) - \sum_{i=1}^n y_i^2 \prod_{j\ne i} (t-\lambda_j).

ここで \(\eta_i = y_i^2\) と置くと，次の恒等式を得る：

(4.3.24)

\sum_{i=1}^n \Bigg( \eta_i \prod_{j\ne i} (t-\lambda_j) \Bigg) = (t-a)\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i) - \prod_{i=1}^{n+1} (t-\mu_i).

従って，非負数 \(\eta_1,\dots,\eta_n\) が (4.3.24) を満たすように選べれば，対応する実ベクトル \(y\)（成分は \(\pm\sqrt{\eta_i}\)）と上で決めた \(a\) によって要求を満たす行列 \(A\) が構成できる。以下でその存在を構成的に示す。

任意に \(\lambda\) を \(\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}\) から取り，その重複度が \(m\ge 1\) であり\n\(\lambda=\lambda_k=\cdots=\lambda_{k+m-1}\) とする。典型的場合として \(1 \lt k \lt n+1-m\) を仮定し（境界場合は同様に扱える），相互はさみ込み (4.3.22) から

\(\mu_{k+1}=\cdots=\mu_{k+m-1}=\lambda\) が成り立ち，さらに \(\mu_k=\lambda\) や \(\lambda=\mu_{k+m}\) も許される。

次の多項式を定める：

f_\lambda^+(t) = \prod_{i=1}^{k-1} (t-\lambda_i), \quad f_\lambda^-(t) = \prod_{i=k+m}^{n} (t-\lambda_i),

g_\lambda^+(t) = \prod_{i=1}^{k} (t-\mu_i), \quad g_\lambda^-(t) = \prod_{i=k+m}^{\,n+1} (t-\mu_i).

ここで \(f_\lambda^+( \lambda) \gt 0\) であり，\(f_\lambda^-(\lambda)\ne 0\) で，また \(g_\lambda^+(\lambda)\ge 0,\; g_\lambda^-(\lambda)\le 0\) である（等号になるのは \(\mu_k=\lambda\) または \(\lambda=\mu_{k+m}\) の場合である）。

式 (4.3.24) を詳しく見ると，左辺の \(\eta_i\) に係る項は，\(i\le k-1\) または \(i\ge k+m\) の場合は因子 \((t-\lambda)^m\) を含み，\(i=k,\dots,k+m-1\) の場合は係数が \(f_\lambda^+(t)(t-\lambda)^{m-1} f_\lambda^-(t)\) となる。一方右辺第一項は因子 \((t-\lambda)^m\) を含み，第二項は \(g_\lambda^+(t)(t-\lambda)^{m-1} g_\lambda^-(t)\) と表せる。従って両辺を \((t-\lambda)^{m-1}\) で割り，\(t=\lambda\) を代入すると次を得る：

\bigl(\eta_k + \cdots + \eta_{k+m-1}\bigr)\, f_\lambda^+(\lambda)\, f_\lambda^-(\lambda) = -\, g_\lambda^+(\lambda)\, g_\lambda^-(\lambda),

したがって

(4.3.25)

\eta_k + \cdots + \eta_{k+m-1} = -\,\dfrac{g_\lambda^+(\lambda)\, g_\lambda^-(\lambda)}{f_\lambda^+(\lambda)\, f_\lambda^-(\lambda)}.

右辺がゼロ（すなわち \(\mu_k=\lambda\) または \(\lambda=\mu_{k+m}\)）ならば，\(\eta_k=\cdots=\eta_{k+m-1}=0\) と取ればよい。そうでなく（すなわち \(\mu_k \lt \lambda \lt \mu_{k+m}\)）の場合は，右辺が正であることが確認できる（符号計算の検討により示される）ので，右辺の正の値を合計として与える任意の非負 \(\eta_k,\dots,\eta_{k+m-1}\) を選べばよい。

このようにしてすべての重複クラスについて非負の \(\eta_i\) を構成すれば，対応する \(y\) と \(a\) により行列 \(A\) の固有値を \(\{\mu_i\}\) にできることが示され，定理は証明される。◻︎