[行列解析4.3.26]定理

4.3.26

定理 4.3.26.

実数 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) および \(\mu_1, \ldots, \mu_n\) が次の「交錯不等式」を満たすとする。

(4.3.27)

\lambda_1 \leq \mu_1 \leq \lambda_2 \leq \mu_2 \leq \cdots \leq \lambda_n \leq \mu_n

\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) とする。このとき、ある実ベクトル \(z \in \mathbb{R}^n\) が存在して、\(\Lambda + zz^{\ast}\) の固有値は \(\mu_1, \ldots, \mu_n\) となる。

証明.

一般性を失うことなく \(\lambda_1 \gt 0\) と仮定できる。

というのも、もし \(\lambda_1 \leq 0\) であれば、\(c \gt -\lambda_1\) をとり、各 \(\lambda_i\) を \(\lambda_i + c\)、各 \(\mu_i\) を \(\mu_i + c\) に置き換えればよい。このシフトは交錯不等式 (4.3.27) を乱さない。もしあるベクトル \(z\) が存在して \(\Lambda + cI + zz^{\ast}\) の固有値が \(\mu_1 + c, \ldots, \mu_n + c\) であるならば、\(\Lambda + zz^{\ast}\) の固有値は \(\mu_1, \ldots, \mu_n\) となる。

ここで \(\mu_0 = 0\) とおき、次を仮定する。

0 = \mu_0 \lt \lambda_1 \leq \mu_1 \leq \lambda_2 \leq \mu_2 \leq \cdots \leq \lambda_n \leq \mu_n

定理 4.3.21 より、実数 \(a\) および実ベクトル \(y\) が存在して、\(\mu_0, \mu_1, \ldots, \mu_n\) が次の特異行列 \(A\) の固有値となる（その最小固有値は 0 である）。

A = \begin{bmatrix} \Lambda & y \\ y^{\top} & a \end{bmatrix}

ここで \(R = \Lambda^{1/2} = \mathrm{diag}(\lambda_1^{1/2}, \ldots, \lambda_n^{1/2})\) とする。\(\Lambda\) は非特異なので、\(A\) の最初の \(n\) 本の列は一次独立である。したがって、最後の列はそれらの一次結合であり、ある実ベクトル \(w\) が存在して

\begin{bmatrix} y \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Lambda \\ y^{\top} \end{bmatrix} w = \begin{bmatrix} R^2 w \\ y^{\top} w \end{bmatrix}

となる。したがって \(y = R^2 w\)、\(w = R^{-2} y\)、\(a = y^{\top} w = w^{\top} R^2 w = (Rw)^{\top} (Rw)\) が得られる。ここで \(z = Rw = R^{-1} y\) とする。

このとき、次の行列の固有値は \(0, \mu_1, \ldots, \mu_n\) であり、式 (1.3.22) により \(\mu_1, \ldots, \mu_n\) は \(\Lambda + zz^{\top}\) の固有値である。

A = \begin{bmatrix} R^2 & R(Rw) \\ (Rw)^{\top} R & (Rw)^{\top} (Rw) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R \\ z^{\top} \end{bmatrix} \Lambda \begin{bmatrix} R & z \end{bmatrix} = R^2 + zz^{\top} = \Lambda + zz^{\top}

定理 4.3.17 は 2つの観点から理解できる。

一方では、与えられたエルミート行列に新しい最後の行と列を付け加えることで得られる行列の固有値を考えている。他方では、与えられたエルミート行列から最後の行と列を削除して得られる行列の固有値の振る舞いを考えている。

固有値の交錯に関しては、最後の行と列を削除すること自体には特別な意味はない。エルミート行列 \(A\) の任意の行と対応する列を削除して得られる行列の固有値は、\(A\) のある置換相似行列から最後の行と列を削除して得られる行列の固有値と一致する。

さらに、エルミート行列から複数の行と対応する列を削除することも考えられる。このとき残る行列は元の行列の「主座小行列」となる。次の結果（しばしば「包含原理」と呼ばれる）は、交錯不等式 (4.3.18) を繰り返し適用することで得られる。ただし、ここではレイリー商定理と部分空間交差補題を用いて証明する。これにより、等号成立の場合や固有値の重複に関する状況を明確にできる。