[行列解析4.1.P5]三重対角行列の実固有値性の証明

4.1.P5

4.1.問題5

行列がすべて実固有値をもつことを、エルミート行列に相似であることから示せる場合がある。
\(A = [a_{ij}] \in M_n(R)\) を三重対角行列とする。
すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について \(a_{i,i+1} a_{i+1,i} > 0\) とする。正の対角要素をもつ実対角行列 D が存在して、\(DAD^{-1}\) が対称行列となることを示し、A の固有値がすべて実であることを結論せよ。次の行列を考えよ：

\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}

非対角要素の符号に関する仮定が必要である理由を説明せよ。

すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について \(a_{i,i+1}a_{i+1,i} \ge 0\) である場合でも、固有値が実である結論が成り立つことを極限を使って示せ。

ヒント

対角行列 \( D = \mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n) \) を用いて \( DAD^{-1} \) が対称になる条件は、非対角成分について \( d_i a_{i,i+1} d_{i+1}^{-1} = d_{i+1} a_{i+1,i} d_i^{-1} \) が成り立つことである。

この関係から比 \( d_{i+1}/d_i \) を決定できる。最後に対称行列は固有値が実であることを用いる。

解答例

\( A \) を三重対角行列とし、すべての \( i \) について \( a_{i,i+1}a_{i+1,i} > 0 \) とする。正の対角行列 \( D = \mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n) \) をとり、\( DAD^{-1} \) が対称となるように構成する。

対称条件は

d_i a_{i,i+1} d_{i+1}^{-1} = d_{i+1} a_{i+1,i} d_i^{-1}

である。これを整理すると

\left(\frac{d_{i+1}}{d_i}\right)^2 = \frac{a_{i,i+1}}{a_{i+1,i}}

となる。仮定より右辺は正であるから、正の平方根をとって \( \frac{d_{i+1}}{d_i} = \sqrt{\frac{a_{i,i+1}}{a_{i+1,i}}} \) と定めればよい。これによりすべての \( d_i > 0 \) を帰納的に決定でき、\( DAD^{-1} \) は対称行列となる。

したがって \( A \) は対称行列に相似であり、対称行列は固有値がすべて実であるから、\( A \) の固有値もすべて実である。

次に、仮定 \( a_{i,i+1}a_{i+1,i} > 0 \) が必要であることを示す。行列 \( A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \) を考える。このとき \( a_{12}a_{21} = -1 \lt 0 \) であり、

\det(\lambda I - A) = \lambda^2 + 1

より固有値は \( \pm i \) であり実ではない。したがって符号条件は必要である。

最後に \( a_{i,i+1}a_{i+1,i} \ge 0 \) の場合を考える。このとき、各成分に対して微小な正数 \( \varepsilon \) を加えて

A_\varepsilon

を \( a_{i,i+1}a_{i+1,i} + \varepsilon > 0 \) を満たすように構成すれば、上記の議論より \( A_\varepsilon \) の固有値はすべて実である。固有値は行列要素に関して連続であるから、\( \varepsilon \to 0 \) とすると \( A \) の固有値も実数に収束する。したがってこの場合も固有値はすべて実である。

以上より主張が示された。