[行列解析3.5.P9]

3.5.問題9

\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) を次の対称三重対角行列（0.9.10）とする：

\text{全主対角成分は } +2, \text{第一上三角と下三角成分は } -1

次の行列を考える：

L = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ -1/2 & 1 & & \\ 0 & -2/3 & 1 & \\ \vdots & & \ddots & \ddots \\ 0 & \dots & - (n-1)/n & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 2 & -1 & & \\ 0 & 3/2 & -1 & \\ \vdots & & \ddots & \ddots \\ 0 & \dots & 0 & n+1/n \end{bmatrix}

このとき \( A = L U \) かつ \(\det A = n+1 \) である。A の固有値は次の通りである：

\lambda_k = 4 \sin^2 \frac{k \pi}{2(n+1)}, \quad k = 1, \dots, n

注意：\( n \to \infty \) のとき \(\lambda_1(A) \to 0\)、\(\lambda_n(A) \to 4\)、そして \(\det A = \lambda_1 \cdots \lambda_n \to \infty\) である。