[行列解析3.2.P9]adj J_k(\lambda) のジョルダン標準形

3.2.P9

3.2問題9

\( k \geq 2 \) とする。 \(\mathrm{adj}\, J_k(\lambda)\) のジョルダン標準形が、\(\lambda \neq 0\) のとき \( J_k(\lambda^{k-1}) \)、\(\lambda = 0\) のとき \( J_2(0) \oplus 0_{k-2} \) である理由を説明しなさい。

ヒント

余因子行列（随伴行列）には \( A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I \) という基本的な関係がある。この関係を \( A=J_k(\lambda) \) に適用すると、\(\mathrm{adj}\,J_k(\lambda)\) が \(J_k(\lambda)\) の多項式として表されることがわかる。

まず \(\lambda\neq0\) の場合には \(J_k(\lambda)\) は可逆であり、\(\mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1}\) を用いることができる。このとき \(J_k(\lambda)^{-1}\) の固有値とジョルダン構造を考えると、\(\mathrm{adj}\,J_k(\lambda)\) のジョルダン標準形が求まる。

一方 \(\lambda=0\) の場合には \(J_k(0)\) は冪零行列であり、行列式は 0 である。このとき \(J_k(0)\,\mathrm{adj}\,J_k(0)=0\) が成り立つため、\(\mathrm{adj}\,J_k(0)\) の階数と冪零性を調べることでジョルダン標準形が決定できる。

解答例

まず随伴行列の基本公式

A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I

を用いる。ここで \(A=J_k(\lambda)\) とする。

まず \(\lambda\neq0\) の場合を考える。このとき \(J_k(\lambda)\) は可逆であるため \( \mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1} \) が成立する。

ジョルダンブロックの行列式は

\det J_k(\lambda)=\lambda^k

であるから

\mathrm{adj}\,J_k(\lambda) = \lambda^k J_k(\lambda)^{-1}

となる。

\(J_k(\lambda)\) は固有値 \(\lambda\) をもつ大きさ \(k\) のジョルダンブロックであるため、その逆行列は固有値 \(1/\lambda\) をもち、ジョルダンブロックの大きさは変わらない。したがって \( \lambda^k J_k(\lambda)^{-1} \) の固有値は \( \lambda^k\cdot\frac{1}{\lambda}=\lambda^{k-1} \) となり、ジョルダンブロックの大きさは \(k\) のままである。

よって