[行列解析3.5.P11]

3.5.問題11

置換行列 \( P = [p_{ij}] \in M_n \) を考える。これは 1, …, n の置換 \(\pi_1, …, \pi_n\) に対応し、\( p_{\pi_j,j} = 1 \)（その他の成分は 0）である。3.5.9 の記法を用い、

\text{rank } P[0,j] = 0, \quad j = 1, \dots, n

を定義する。次を示せ：

\pi_j = \min \{ k \in \{1, \dots, n\} : \text{rank } P[k,j] = \text{rank } P[k,j-1] + 1 \}, \quad j = 1, \dots, n

結論として、\( n^2 \) 個の数 \(\text{rank } P[k,j], k,j = 1,\dots,n\) により \( P \) は一意に決まる。