[行列解析3.4.P7]

3.4.問題7

(3.4.2.10b)で述べられた同時相似変換は、「Weyr」を「ジョルダン」に置き換えた場合には必ずしも可能ではないことを示す例を詳しく説明せよ。

次を定義する：

J = \begin{bmatrix} J_2(0) & 0 \\ 0 & J_2(0) \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 0 & I_2 \\ J_2(0) & 0 \end{bmatrix}

(a) \(A\) のブロックは上三角テプリッツ行列であることに注目し、なぜ \(A\) が \(J\) と可換でなければならないのか（計算なしで）説明せよ。

(b) 可換族 \(\{J,A\}\) に対し、\(J\) をジョルダン標準形に、かつ \(A\) を上三角形に変換する同時相似変換が存在すると仮定する。すなわち、可逆行列 \(S=[s_{ij}] \in M_4\) が存在して

S^{-1}JS = J, \quad S^{-1}AS = T = [t_{ij}] \ (\text{上三角行列})

とする。このとき次を確認せよ：

S = \begin{bmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13} & s_{14} \\ 0 & s_{11} & 0 & s_{13} \\ s_{31} & s_{32} & s_{33} & s_{34} \\ 0 & s_{31} & 0 & s_{33} \end{bmatrix}, \quad AS = \begin{bmatrix} s_{31} & * & * & * \\ * & s_{31} & * & * \\ 0 & s_{11} & * & * \\ * & * & * & * \end{bmatrix}

ST = \begin{bmatrix} s_{11}t_{11} & * & * & * \\ * & s_{11}t_{22} & * & * \\ s_{31}t_{11} & s_{31}t_{12}+s_{32}t_{22} & * & * \\ * & * & * & * \end{bmatrix}

（ここで * の成分は議論に無関係である）。

(c) \(s_{31}=0\) かつ \(s_{11}=0\) を導け。なぜこれは矛盾となるのか説明せよ。

(d) よって、(b) で主張された性質を満たす \(\{J,A\}\) の同時相似変換は存在しないことを結論せよ。