3.3 問題26
3.P26
これは (2.4.P16) の一般化である。\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とし、最小多項式を
q_A(t) = (t - \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (t - \lambda_d)^{\mu_d}
とする。各 \( i = 1, \ldots, d \) に対し、\( q_i(t) = \tfrac{q_A(t)}{t - \lambda_i} \) とし、\( \nu_i \) を \( A \) のジョルダン標準形におけるブロック \( J_{\mu_i}(\lambda_i) \) の個数とする。このとき以下を示しなさい。
(a) 各 \( i \) について、\( q_i(A) \neq 0 \) であり、その非零列は \( A \) の固有値 \( \lambda_i \) に対応する固有ベクトルであり、非零行は \( \lambda_i \) に対応する左固有ベクトルの共役である。
(b) 各 \( i \) について、\( q_i(A) = X_i Y_i^* \) が成り立ち、ここで \( X_i, Y_i \in M_{n, \nu_i} \) は階数 \( \nu_i \) を持ち、\( AX_i = \lambda_i X_i \)、\( Y_i^* A = \lambda_i Y_i^* \) が成り立つ。
(c) \(\operatorname{rank} q_i(A) = \nu_i, \, i = 1, \ldots, d\)。
(d) ある \( i \) に対して \(\nu_i = 1\) ならば、\(\operatorname{rank} p(A) = 1\) となる多項式 \( p(t) \) が存在する。
(e) \( A \) が nonderogatory（最小多項式の次数が \( n \) に等しい場合）、\(\operatorname{rank} p(A) = 1\) となる多項式 \( p(t) \) が存在する。
(f) (d) の主張の逆もまた正しい。これを証明できるか？
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