[行列解析3.3.P25]

3.3　問題25

(3.3.12)

A = \begin{bmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & & & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} \in M_n

\( a_0 \neq 0 \) の場合、(3.3.12) の同伴行列 \( A \) の逆行列が次の形で表されることを示しなさい。

(3.3.18)

A^{-1} = \begin{bmatrix} -\tfrac{a_1}{a_0} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -\tfrac{a_2}{a_0} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\tfrac{a_{n-1}}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -\tfrac{1}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}

さらに、その特性多項式が次の式で表されることを示しなさい。

t^n + \tfrac{a_1}{a_0} t^{n-1} + \cdots + \tfrac{a_{n-1}}{a_0} t + \tfrac{1}{a_0} = \tfrac{t^n}{a_0} \, p_A(t^{-1}) \tag{3.3.19}