[行列解析3.2.P24]

3.2問題24

3.2.P24

この問題は (2.4.P12) の類似である。\( A, B \in M_n \) とし、\( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) を \( A \) の異なる固有値とする。さらに \( D = AB - BA^T \) とし、\( AD = DA^T \) が成り立つと仮定する。(a) \( D \) が特異であることを示せ。(b) \( A \) が対角化可能ならば、\( D = 0 \)、すなわち \( AB = BA^T \) を示せ。(c) \( DA = A^T D \) かつ \( AD = DA^T \) であるなら、\( D \) が冪零であることを示せ。(d) \( A \) が非退化 (nonderogatory) であると仮定する。このとき (3.2.4.4) より \( D \) が対称であることが保証される。さらに、階数が \( \mathrm{rank}\,D \leq n-d \) であることを示し、固有値 0 の幾何的重複度が少なくとも \( d \) であることを導け。