7.7.2 ローナーの半順序におけるエルミート行列の性質
定理 7.7.2
\( A, B \in M_n \) をエルミート行列、\( S \in M_{n,m} \) とする。このとき次が成り立つ。
(a) もし \( A \succeq B \) ならば、\( S^{*}AS \succeq S^{*}BS \) が成り立つ。
(b) もし \(\operatorname{rank} S = m\) ならば、\( A \succ B \) なら \( S^{*}AS \succ S^{*}BS \) が成り立つ。
(c) もし \( m = n \) で、\( S \in M_n \) が非特異であるならば、次が成り立つ：
\( A \succ B \) であることと \( S^{*}AS \succ S^{*}BS \) であることは同値であり、同様に \( A \succeq B \) と \( S^{*}AS \succeq S^{*}BS \) も同値である。
(d) \( I_m \succ S^{*}S \)（または \( I_n \succ SS^{*} \)）が成り立つのは、\( S \) が厳密収縮（strict contraction）である場合に限る。 また、\( I_m \succ S^{*}S \)（または \( I_n \succeq SS^{*} \)）が成り立つのは、\( S \) が収縮（contraction）である場合に限る。
証明
(a) もし \( (A - B) \succeq 0 \) であるならば、式 (7.1.8(a)) より
S^{*}(A - B)S = S^{*}AS - S^{*}BS \succeq 0
が成り立つ。
(b) この主張も (7.1.8(b)) を用いて同様に示される。
(c) もし \( S^{*}A S \succ S^{*}BS \) であるならば、
S^{-*}(S^{*}AS)S^{-1} = A \succ B = S^{-*}(S^{*}BS)S^{-1}
が成り立つ。同様にして、\( \succeq \) に関する主張も証明できる。
(d) \( I_m \succeq S^{*}S \) であることと
1 \ge \lambda_{\max}(S^{*}S) = \sigma_1(S)^2
が成り立つことは同値である。ここで \( \sigma_1(S) \) は \( S \) の最大特異値である。 他の主張についても同様に示される。
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