4.4.P20
4.4.問題20
ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\)（3.1.2）と反転行列 \(K_m\)（0.9.5.1）を考える。
なぜ \(\hat{J}_m(\lambda) = K_m J_m(\lambda)\) が対称であり、\(\lambda\) が実の場合は実対称となるか説明せよ。
行列 \(A \in M_n\) がジョルダン標準形 (3.1.12) を持つとし、\(\hat{J} = K_{n_1} J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus K_{n_q} J_{n_q}(\lambda_q)\)、\(\hat{K} = K_{n_1} \oplus \cdots \oplus K_{n_q}\) とすると、なぜ \(A = (S \hat{K} S^T)(S^{-T} \hat{J} S^{-1})\) が二つの複素対称行列の積として表せるか説明せよ。
これは (4.4.24) に依存しない (4.4.25) の証明である。
ヒント
ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) に対して、\(K_m\) は行と列を反転する置換行列である。この行列を左から掛けると、ジョルダンブロックの上三角部分が反転して対称になる。実際、\(K_mJ_m(\lambda)\) とその転置を直接比較すればよい。
次に、\(A\) のジョルダン標準形を \(A=SJS^{-1}\) とする。各ジョルダンブロックについて \(J_m(\lambda)=K_m(K_mJ_m(\lambda))\) が成り立ち、\(K_m^{-1}=K_m\) を用いると \(J=\hat K\hat J\) と書ける。そこで \(A\) を二つの因子に分け、\(S^T S^{-T}=I\) を挿入することで、それぞれを対称行列にすることができる。
解答例
まず、ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) と逆行列 \(K_m\) を考える。\(K_m\) は反転行列であり、
K_m=
\begin{bmatrix}
0&0&\cdots&0&1\\
0&0&\cdots&1&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&1&\cdots&0&0\\
1&0&\cdots&0&0
\end{bmatrix}
を満たす。特に \(K_m\) は実対称な直交行列であり、
K_m^{\top}=K_m,
\qquad
K_m^{-1}=K_m
である。
ジョルダンブロックを \(J_m(\lambda)=\lambda I_m+N_m\) と書く。ただし \(N_m\) は上隣接対角線上に \(1\) が並ぶ行列である。このとき、反転行列 \(K_m\) との間には
K_mN_m=N_m^{\top}K_m
という関係がある。したがって、
\begin{aligned}
\hat{J}_m(\lambda)^{\top}
&=(K_mJ_m(\lambda))^{\top}\\
&=J_m(\lambda)^{\top}K_m^{\top}\\
&=(\lambda I_m+N_m^{\top})K_m\\
&=\lambda K_m+N_m^{\top}K_m\\
&=\lambda K_m+K_mN_m\\
&=K_m(\lambda I_m+N_m)\\
&=K_mJ_m(\lambda)\\
&=\hat{J}_m(\lambda).
\end{aligned}
よって \(\hat{J}_m(\lambda)=K_mJ_m(\lambda)\) は対称行列である。さらに \(K_m\) は実行列なので、\(\lambda\) が実数なら \(J_m(\lambda)\) も実行列である。したがってこの場合、\(\hat{J}_m(\lambda)\) は実対称行列となる。
次に、\(A\) がジョルダン標準形を持つとする。すなわち、ある正則行列 \(S\) によって
A=SJS^{-1}
と書ける。ここで
J=
J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_q}(\lambda_q)
である。各 \(K_{n_j}\) は \(K_{n_j}^{-1}=K_{n_j}\) を満たすので、各ブロックについて
J_{n_j}(\lambda_j)
=
K_{n_j}\bigl(K_{n_j}J_{n_j}(\lambda_j)\bigr)
が成り立つ。したがって、定義した \(\hat K\) と \(\hat J\) を用いると、
J=\hat K\hat J
となる。よって、
A=S\hat K\hat J S^{-1}
である。ここで \(I=S^{\top}S^{-\top}\) を挿入すると、
\begin{aligned}
A
&=S\hat K\hat J S^{-1}\\
&=S\hat K S^{\top}S^{-\top}\hat J S^{-1}\\
&=(S\hat K S^{\top})(S^{-\top}\hat J S^{-1}).
\end{aligned}
ここで \(\hat K\) は各 \(K_{n_j}\) の直和であるから、実対称行列である。実際、
\hat K^{\top}
=
K_{n_1}^{\top}\oplus\cdots\oplus K_{n_q}^{\top}
=
\hat K
また、先ほど示したように各 \(K_{n_j}J_{n_j}(\lambda_j)\) は対称なので、その直和である \(\hat J\) も対称である。したがって、
\hat J^{\top}=\hat J
が成り立つ。
そこで、第1因子を転置すると、
(S\hat K S^{\top})^{\top}
=
S\hat K^{\top}S^{\top}
=
S\hat K S^{\top}
となるので、\(S\hat K S^{\top}\) は対称行列である。同様に、第2因子については、
\begin{aligned}
(S^{-\top}\hat J S^{-1})^{\top}
&=S^{-\top}\hat J^{\top}S^{-1}\\
&=S^{-\top}\hat J S^{-1}.
\end{aligned}
となるので、\(S^{-\top}\hat J S^{-1}\) も対称行列である。
したがって、
A=(S\hat K S^{\top})(S^{-\top}\hat J S^{-1})
は、二つの複素対称行列の積として表される。
さらに、この構成では \(S\) は正則であり、各 \(K_{n_j}\) も正則であるため、\(S\hat K S^{\top}\) は必ず非特異である。また、\(\hat J\) が非特異であるのはすべてのジョルダンブロックの固有値 \(\lambda_j\) が \(0\) でない場合であり、その場合には第2因子も非特異となる。
この証明では、任意の行列 \(A\) をまずジョルダン標準形に移し、各ジョルダンブロックを \(K_m\) で反転することで対称行列 \(\hat J_m(\lambda)\) を作っている。そのため、共役正規行列の性質を利用する定理4.4.24には依存していない。したがって、これは系4.4.25を直接証明する別証明となる。
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