4.4.P11
4.4.問題11
行列 \(A \in M_n\) が対称かつ正則である場合、\(A^{-1}\) も対称であることを示せ。
ヒント
逆行列の転置に関する公式 \(\left(A^{-1}\right)^{\top}=\left(A^{\top}\right)^{-1}\) と、\(A\) が対称であることを利用する。
解答例
\(A\) は対称行列であるから、
A^{\top}=Aが成り立つ。
また、\(A\) は正則であるから、逆行列の転置に関する公式より、
\left(A^{-1}\right)^{\top}=\left(A^{\top}\right)^{-1}となる。
ここで \(A^{\top}=A\) を用いると、
\left(A^{-1}\right)^{\top}=A^{-1}を得る。
したがって、\(A^{-1}\) も対称行列である。
[行列解析4.4]ユニタリ合同と複素対称行列
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