4.3.P13
4.3.問題13
定理 4.3.17（Cauchy）.
\(B \in M_n\) をエルミート行列、\(y \in \mathbb{C}^n\)、\(a \in \mathbb{R}\) を与えられたものとし、
A = \begin{bmatrix} B & y \\ y^* & a \end{bmatrix} ∈ M_{n+1}とする。このとき次が成り立つ。
(4.3.18)λ_1(A) ≤ λ_1(B) ≤ λ_2(A) ≤ ··· ≤ λ_n(A) ≤ λ_n(B) ≤ λ_{n+1}(A)
系 4.3.9
\(n ≥ 2\) とし、エルミート行列 \(A \in M_n\) および非ゼロベクトル \(z \in \mathbb{C}^n\) を考える。このとき次が成り立つ。
(4.3.10)λ_i(A) ≤ λ_i(A + zz^*) ≤ λ_{i+1}(A), i = 1, …, n − 1 \\ λ_n(A) ≤ λ_n(A + zz^*)(4.3.10) の等号成立の条件は、(4.3.3) に従い \(\pi = 1, \nu = 0\) と同様である。例えば、\(\lambda_i(A + zz^*) = λ_{i+1}(A)\) となるのは、非ゼロベクトル \(x\) が存在して
\(Ax = λ_{i+1}(A)x\)、\(z^* x = 0\)、\((A + zz^*)x = λ_i(A + zz^*)x\) を満たす場合に限る。(4.3.11)λ_1(A − zz^*) ≤ λ_1(A) \\ λ_{i−1}(A) ≤ λ_i(A − zz^*) ≤ λ_i(A), \quad i = 2, …, n(4.3.11) の等号成立の条件は、(4.3.3) に従い \(\pi = 0, \nu = 1\) と同様である。もし A のどの固有ベクトルも z に直交しない場合、(4.3.10, 4.3.11) のすべての不等式は厳密な不等式となる。
境界付きエルミート行列に関するコーシーの交錯定理 (4.3.17) が、エルミート行列に対するランク1摂動の交錯定理 (4.3.9) を導くことを示す以下の証明スケッチの詳細を補え。
\(z \in \mathbb{C}^n\)、\(A \in M\_n\) をエルミートとする。
目標は (4.3.10) を示すことである。
λ_i(A) ≤ λ_i(A + zz^*) ≤ λ_{i+1}(A), i = 1, …, n − 1 \\
λ_n(A) ≤ λ_n(A + zz^*)
(4.3.26) の証明と同様に、\(A = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) が対角かつ正定値であると仮定してよい。なぜか？
\(R = \mathrm{diag}(\lambda_1^{1/2},\ldots,\lambda_n^{1/2})\) とする。このとき、
\Lambda + zz^* =
\begin{bmatrix} R & z \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} R \\ z^* \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} \Lambda & Rz \\ z^*R & z^*z \end{bmatrix}
の固有値は \(\{0 \leq \lambda_1(\Lambda+zz^*) \leq \cdots \leq \lambda_n(\Lambda+zz^*)\}\) であり、\(\Lambda\) の固有値と交錯することがコーシーの定理により保証される。
ヒント
エルミート行列はユニタリ対角化でき、固有値はユニタリ相似変換で不変である。
また、 \(A+zz^*\) も同じ変換で
U^*(A+zz^*)U = \Lambda + ww^*
の形になる。ただし \(w=U^*z\) である。
さらに、
M=
\begin{bmatrix}
\Lambda & Rw\\
w^*R & w^*w
\end{bmatrix}
を考えると、 \(\Lambda+ww^*\) は \(M\) の非零固有値と一致する。
そこで、コーシーの交錯定理を \(M\) とその主部分行列 \(\Lambda\) に適用する。
解答例
まず、\(A\) はエルミート行列なので、あるユニタリ行列 \(U\) を用いて
A = U\Lambda U^*
と対角化できる。ただし
\Lambda
=
\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)
である。
\(w=U^*z\) とおくと、
U^*(A+zz^*)U = \Lambda + ww^*
となる。
ユニタリ相似な行列は同じ固有値を持つので、 \(A+zz^*\) の固有値を調べる代わりに \(\Lambda+ww^*\) を調べれば十分である。
さらに、必要ならば \(A+tI\) を考えることで、すべての固有値を正にできる。 実際、
(A+tI)+zz^* = (A+zz^*)+tI
であり、固有値はすべて \(t\) だけ平行移動するので、交錯関係は変わらない。 したがって、 \(\Lambda\) が正定値であると仮定してよい。
そこで
R
=
\operatorname{diag}
(\lambda_1^{1/2},\ldots,\lambda_n^{1/2})
とおく。
すると、
\Lambda+ww^*
=
\begin{bmatrix}
R & w
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R\\
w^*
\end{bmatrix}
である。
一方、
M
=
\begin{bmatrix}
R\\
w^*
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R & w
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\Lambda & Rw\\
w^*R & w^*w
\end{bmatrix}
\in M_{n+1}
を考える。
一般に、\(XY\) と \(YX\) の非零固有値は重複度込みで一致する。 したがって、
\Lambda+ww^*
の固有値
\lambda_1(\Lambda+ww^*) \leq \cdots \leq \lambda_n(\Lambda+ww^*)
は、 \(M\) の固有値のうち非零なものと一致する。 さらに、 \(M\) はサイズ \(n+1\) のエルミート行列であり、 \(\Lambda\) はその左上 \(n\times n\) 主部分行列である。
よって、コーシーの交錯定理を適用すると、
\lambda_i(M)
\leq
\lambda_i(\Lambda)
\leq
\lambda_{i+1}(M)
\qquad
(i=1,\ldots,n)
を得る。
\(M\) の最小固有値は \(0\) であり、残りの \(n\) 個の固有値は \(\Lambda+ww^*\) の固有値であるから、
0 \leq \lambda_1(\Lambda+ww^*) \leq \lambda_1(\Lambda) \leq \lambda_2(\Lambda+ww^*) \leq \cdots \leq \lambda_n(\Lambda) \leq \lambda_n(\Lambda+ww^*)
となる。
すなわち、
\lambda_i(\Lambda)
\leq
\lambda_i(\Lambda+ww^*)
\leq
\lambda_{i+1}(\Lambda)
\qquad
(i=1,\ldots,n-1)
および
\lambda_n(\Lambda) \leq \lambda_n(\Lambda+ww^*)
を得る。
最後に、 \(\Lambda\) と \(A\) 、 \(\Lambda+ww^*\) と \(A+zz^*\) はそれぞれユニタリ相似であるから、
\lambda_i(A)
\leq
\lambda_i(A+zz^*)
\leq
\lambda_{i+1}(A)
\qquad
(i=1,\ldots,n-1)
および
\lambda_n(A) \leq \lambda_n(A+zz^*)
が従う。
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