[行列解析4.3.28]定理

4.3.28

定理 4.3.28.

エルミート行列 \(A \in M_n\) を次のように分割する：

(4.3.29)

A = \begin{bmatrix} B & C \\ C^{\ast} & D \end{bmatrix}, \quad B \in M_m, \; D \in M_{n-m}, \; C \in M_{m,n-m}

行列 \(A\) と \(B\) の固有値を (4.2.1) と同様に並べる。このとき、次が成り立つ：

(4.3.30)

\lambda_i(A) \leq \lambda_i(B) \leq \lambda_{i+n-m}(A), \quad i = 1, \ldots, m

下側の等号がある \(i\) で成立するのは、ある非零ベクトル \(\xi \in \mathbb{C}^m\) が存在して、\(B\xi = \lambda_i(B)\xi\) かつ \(C^{\ast}\xi = 0\) である場合、かつその場合に限る。

上側の等号がある \(i\) で成立するのは、ある非零ベクトル \(\xi \in \mathbb{C}^m\) が存在して、\(B\xi = \lambda_{i+n-m}(A)\xi\) かつ \(C^{\ast}\xi = 0\) である場合、かつその場合に限る。

もし \(i \in \{1, \ldots, m\}, 1 \leq r \leq i\) で、次が成り立つならば：

(4.3.31)

\lambda_{i-r+1}(A) = \cdots = \lambda_i(A) = \lambda_i(B)

このとき \(\lambda_{i-r+1}(B) = \cdots = \lambda_i(B)\) であり、直交規格化されたベクトル \(\xi_1, \ldots, \xi_r \in \mathbb{C}^m\) が存在して、各 \(j = 1, \ldots, r\) について \(B\xi_j = \lambda_i(B)\xi_j\)、かつ \(C^{\ast}\xi_j = 0\) となる。

さらに、もし \(i \in \{1, \ldots, m\}, 1 \leq r \leq m-i+1\) で、次が成り立つならば：

(4.3.32)

\lambda_i(B) = \lambda_{i+n-m}(A) = \cdots = \lambda_{i+n-m+r-1}(A)

このとき \(\lambda_i(B) = \cdots = \lambda_{i+n-m+r-1}(B)\) であり、直交規格化されたベクトル \(\xi_1, \ldots, \xi_r \in \mathbb{C}^m\) が存在して、各 \(j = 1, \ldots, r\) について \(B\xi_j = \lambda_i(B)\xi_j\)、かつ \(C^{\ast}\xi_j = 0\) となる。

証明.

\(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{C}^n\)、および \(y_1, \ldots, y_m \in \mathbb{C}^m\) を、それぞれ \(A, B\) の固有ベクトルの直交規格化された族とする。

ただし \(A x_i = \lambda_i(A)x_i\)、\(B y_i = \lambda_i(B)y_i\) とする。各 \(i = 1, \ldots, m\) について

\hat{y}_i = \begin{bmatrix} y_i \\ 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^n

とおく。ある固定した \(i \in \{1, \ldots, m\}\) に対し、次を定める：

S\_1 = \mathrm{span}\{x\_1, \ldots, x\_{i+n-m}\}, \quad S\_2 = \mathrm{span}\{\hat{y}\_i, \ldots, \hat{y}\_m\}

このとき \(\dim S_1 + \dim S_2 = (i+n-m) + (m-i+1) = n+1\) なので、(4.2.3) により \(S_1 \cap S_2\) には単位ベクトル \(x\) が存在する。しかも \(x \in S_2\) なので、\(x = \begin{bmatrix}\xi \\ 0\end{bmatrix}\) と表せる。ただし \(\xi \in \mathrm{span}\{y_i, \ldots, y_m\} \subset \mathbb{C}^m\) は単位ベクトルである。

このとき次が成り立つ：

x^{\ast} A x = \begin{bmatrix} \xi^{\ast} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & C \\ C^{\ast} & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \xi^{\ast} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B\xi \\ C^{\ast}\xi \end{bmatrix} = \xi^{\ast} B \xi

ここで (4.2.2) を2回適用すると、次が得られる：

(4.3.33)

\lambda\_i(B) \leq \xi^{\ast} B \xi = x^{\ast} A x \leq \lambda\_{i+n-m}(A)

最初の不等式は \(\xi \in \mathrm{span}\{y_i, \ldots, y_m\}\) から従い、2つ目の不等式は \(x \in S_1\) から従う。等号成立に関する議論は (4.2.2) の等号成立条件と同様に得られる。

もし (4.3.31) が成り立つならば、(4.3.30) によって

\(\lambda_{i-r+1}(A) \leq \lambda_{i-r+1}(B) \leq \cdots \leq \lambda_{i-1}(B) \leq \lambda_i(B) = \lambda_{i-r+1}(A)\) となり、したがって \(\lambda_{i-r+1}(B) = \cdots = \lambda_i(B)\) が成り立つ。

この場合、\(S_1 = \mathrm{span}\{x_1, \ldots, x_{i+n-m}\}, S_2 = \mathrm{span}\{\hat{y}_{i-r+1}, \ldots, \hat{y}_m\}\) とおくと、\(\dim S_1 + \dim S_2 = (i+n-m) + (m-i+r) = n+r\) なので、(4.2.3) より \(\dim(S_1 \cap S_2) \geq r\) となる。

したがって、直交規格化されたベクトル \(x_1, \ldots, x_r \in S_1 \cap S_2\) が存在し、それぞれ \(x_j = \begin{bmatrix}\xi_j \\ 0\end{bmatrix}\) の形であり、\(\xi_1, \ldots, \xi_r\) は \(\mathrm{span}\{y_{i-r+1}, \ldots, y_m\}\) に含まれる直交規格化ベクトルで、各 \(j\) について \(B\xi_j = \lambda_i(B)\xi_j\)、かつ \(C^{\ast}\xi_j = 0\) が成立する。

同様にして (4.3.32) の場合も確認できる。