[行列解析4.1.P6]半双線形形式による行列の一意性

4.1.P6

4.1.問題6

\(A = [a_{ij}], B = [b_{ij}] \in M_n\) が与えられたとき、

(a) すべての \(x \in \mathbb{C}^n\) について \(x^*Ax = x^*Bx\) ならば \(A = B\) であることを示せ。

すなわち、複素行列は生成する半双線形形式によって決定される。

仮定より \( x^*(A-B)x = 0 \) がすべての \( x \) に対して成り立つ。標準基底ベクトルやその線形結合（例えば \( e_i + e_j \)、\( e_i + i e_j \)）を代入して、各成分 \( a_{ij} - b_{ij} \) を取り出す。

\( C = A - B \) とおくと、仮定はすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( x^* C x = 0 \) が成り立つことを意味する。これより \( C = 0 \) を示せばよい。

まず標準基底 \( e_i \) を用いると \( e_i^* C e_i = c_{ii} = 0 \) より、すべての対角成分は 0 である。

次に \( i \ne j \) に対して \( x = e_i + e_j \) を代入すると

0 = (e_i + e_j)^* C (e_i + e_j) = c_{ii} + c_{jj} + c_{ij} + c_{ji}

すでに \( c_{ii} = c_{jj} = 0 \) なので \( c_{ij} + c_{ji} = 0 \) が得られる。

さらに \( x = e_i + i e_j \) を代入すると

0 = (e_i + i e_j)^* C (e_i + i e_j) = c_{ii} + c_{jj} + i c_{ij} - i c_{ji}

同様に \( c_{ii} = c_{jj} = 0 \) より \( i c_{ij} - i c_{ji} = 0 \)、すなわち \( c_{ij} = c_{ji} \) が得られる。

以上より \( c_{ij} + c_{ji} = 0 \) と \( c_{ij} = c_{ji} \) から \( c_{ij} = c_{ji} = 0 \) が従う。

したがってすべての成分が 0 であるから \( C = 0 \)、すなわち \( A = B \) である。

以上より、複素行列は生成する半双線形形式によって一意に定まることが示された。