[行列解析4.1.P20]射影とエルミート性の同値条件

4.1.P20

4.1.問題20

\(A \in M_n\) が射影であるとする。

このとき、\(A\) がエルミート行列であることと、\(AA^{*}A = A\) が成り立つことは同値であることを示せ。

ヒント

射影行列では \(A^2 = A\) が成り立つ。

まず \(A\) がエルミートなら \(A^* = A\) を代入すればよい。

逆に \(AA^*A = A\) からは、内積 \(x^*(AA^*A - A)x\) を考え、\(\|A^*x - x\|^2\) の形に変形することで \(A^* = A\) を導く。

解答例

まず、\(A\) がエルミートであるとする。すなわち \(A^* = A\) である。このとき

AA^*A = AAA = A^3

射影条件 \(A^2 = A\) より \(A^3 = A\) であるから、

AA^*A = A

が成り立つ。

逆に、\(A^2 = A\) かつ \(AA^*A = A\) が成り立つとする。このとき任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して

x^*(AA^*A - A)x = 0

すなわち

x^*AA^*Ax - x^*Ax = 0

ここで \(y = Ax\) とおくと、

y^*A^*y - y^*y = 0 \quad \Longrightarrow \quad y^*(A^* - I)y = 0

すべての \(y \in \mathrm{Im}\,A\) に対して成り立つ。また射影より \(\mathbb{C}^n = \mathrm{Im}\,A \oplus \mathrm{Ker}\,A\) である。さらに \(z \in \mathrm{Ker}\,A\) に対しては \(Az = 0\) なので自明に

z^*(A^* - I)z = 0

が成り立つ。したがって任意のベクトルに対して

x^*(A^* - A)x = 0

が従うので、

A^* = A

すなわち \(A\) はエルミートである。

以上より、射影行列 \(A\) に対して \(A\) がエルミートであることと \(AA^*A = A\) が成り立つことは同値である。

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