4.1.P16
4.1.問題16
任意の \(s, t \in \mathbb{R}\) に対して、\(\max\{|s|, |t|\} = \frac{1}{2}(|s+t| + |s-t|)\) であることを示せ。任意の \(A \in M_2\) エルミート行列について、\(\rho(A) = \frac{1}{2}|\mathrm{tr} A| + \frac{1}{2}(\mathrm{tr} A^2 - 2 \det A)^{1/2}\) を導け。
ヒント
まず実数 \(s,t\) の場合について、符号の組み合わせごとに \(|s+t|\) と \(|s-t|\) を調べると式が成り立つことが確認できる。次に \(2\times 2\) エルミート行列は固有値が実数であり、特性多項式から固有値を求めて、その最大絶対値がスペクトル半径 \(\rho(A)\) であることを用いる。
解答例
まず、任意の \(s,t \in \mathbb{R}\) に対して
\max\{|s|, |t|\} = \frac{1}{2}(|s+t| + |s-t|)
を示す。場合分けにより確認する。例えば \(|s| \ge |t|\) のとき、\(s\) と \(t\) の符号の組み合わせを考えると、いずれの場合も \(|s+t| + |s-t| = 2|s|\) が成り立つ。同様に \(|t| \ge |s|\) の場合には \(|s+t| + |s-t| = 2|t|\) となる。よって一般に上式が成立する。
次に、\(A \in M_2\) をエルミート行列とする。このとき固有値は実数であり、\(\lambda_1, \lambda_2\) とおくと
\lambda_1 + \lambda_2 = \mathrm{tr} A, \quad \lambda_1 \lambda_2 = \det A
が成り立つ。したがって特性方程式から
\lambda_{1,2} = \frac{1}{2}\left( \mathrm{tr} A \pm \sqrt{(\mathrm{tr} A)^2 - 4 \det A} \right)
となる。ここで
(\mathrm{tr} A)^2 - 4 \det A = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 - 2\lambda_1 \lambda_2 = \mathrm{tr} A^2 - 2 \det A
であるから
\lambda_{1,2} = \frac{1}{2}\left( \mathrm{tr} A \pm \sqrt{\mathrm{tr} A^2 - 2 \det A} \right)
となる。スペクトル半径は \(\rho(A) = \max\{|\lambda_1|, |\lambda_2|\}\) であるので、先に示した実数の公式を用いると
\rho(A) = \frac{1}{2}\left( |\mathrm{tr} A + \sqrt{\mathrm{tr} A^2 - 2 \det A}| + |\mathrm{tr} A - \sqrt{\mathrm{tr} A^2 - 2 \det A}| \right)
ここで \(\mathrm{tr} A\) と \(\sqrt{\mathrm{tr} A^2 - 2 \det A}\) は実数であるため、先の結果を適用して
\rho(A) = \frac{1}{2}|\mathrm{tr} A| + \frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{tr} A^2 - 2 \det A}
を得る。
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