[行列解析3.3.P9]特性多項式と最小多項式からジョルダン形決定

3.3.P9

3.3　問題9

\(A\in M_5\) が特性多項式 \(p_A(t)=(t-4)^3(t+6)^2\) かつ最小多項式 \(q_A(t)=(t-4)^2(t+6)\) をもつとする。\(A\) のジョルダン標準形は何か？

固有値ごとに考える。特性多項式から各固有値の重複度が分かり、最小多項式から最大のジョルダンブロックのサイズが分かる。これらを組み合わせてブロックの分割を決定する。

特性多項式は \( p_A(t) = (t-4)^3 (t+6)^2 \) であるから、固有値 \( 4 \) の代数的重複度は \( 3 \)、固有値 \( -6 \) の代数的重複度は \( 2 \) である。

また、最小多項式は \( q_A(t) = (t-4)^2 (t+6) \) である。

したがって、固有値 \( 4 \) に対する最大のジョルダンブロックのサイズは \( 2 \)、固有値 \( -6 \) に対する最大のジョルダンブロックのサイズは \( 1 \) である。

固有値 \( 4 \) に関しては、合計サイズが \( 3 \)、最大サイズが \( 2 \) であるから、ジョルダンブロックの分割は

2 + 1

となる。

固有値 \( -6 \) に関しては、最大サイズが \( 1 \) であるため、すべてサイズ1のブロックであり、

1 + 1

となる。

以上より、ジョルダン標準形は次の直和で与えられる：

J_2(4) \oplus J_1(4) \oplus J_1(-6) \oplus J_1(-6)

これが求めるジョルダン標準形である。