[行列解析3.3.P25]同伴行列の逆行列と特性多項式

3.3.P25

3.3　問題25

(3.3.12)

A = \begin{bmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & & & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} \in M_n

\( a_0 \neq 0 \) の場合、(3.3.12) の同伴行列 \( A \) の逆行列が次の形で表されることを示しなさい。

(3.3.18)

A^{-1} = \begin{bmatrix} -\tfrac{a_1}{a_0} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -\tfrac{a_2}{a_0} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\tfrac{a_{n-1}}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -\tfrac{1}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}

さらに、その特性多項式が次の式で表されることを示しなさい。

t^n + \tfrac{a_1}{a_0} t^{n-1} + \cdots + \tfrac{a_{n-1}}{a_0} t + \tfrac{1}{a_0} = \tfrac{t^n}{a_0} \, p_A(t^{-1}) \tag{3.3.19}

同伴行列 \( A \) の列ベクトルに対する作用を調べ、標準基底ベクトルへの写像を考えると逆行列の形が決まる。また、特性多項式については \( A^{-1} \) の固有値が \( A \) の固有値の逆数であることを用いるとよい。

まず \( a_0 \neq 0 \) とする。このとき同伴行列 \( A \) は正則である。標準基底 \( e_1,\ldots,e_n \) に対する作用を調べると、

A e_1 = e_2,\quad A e_2 = e_3,\quad \ldots,\quad A e_{n-1} = e_n,

および

A e_n = -a_0 e_1 - a_1 e_2 - \cdots - a_{n-1} e_n

が成り立つ。これを逆に解くと、

e_1 = -\frac{1}{a_0} A e_n - \frac{a_1}{a_0} e_2 - \cdots - \frac{a_{n-1}}{a_0} e_n

より、\( A^{-1} \) の作用は

A^{-1} e_1 = -\frac{a_1}{a_0} e_1 - \frac{a_2}{a_0} e_2 - \cdots - \frac{a_{n-1}}{a_0} e_{n-1} - \frac{1}{a_0} e_n,

および

A^{-1} e_2 = e_1,\quad A^{-1} e_3 = e_2,\quad \ldots,\quad A^{-1} e_n = e_{n-1}

となる。したがって \( A^{-1} \) は

A^{-1} = \begin{bmatrix} -\tfrac{a_1}{a_0} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -\tfrac{a_2}{a_0} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\tfrac{a_{n-1}}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -\tfrac{1}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}

となる。

次に特性多項式を求める。\( A \) の固有値を \( \lambda \) とすると、\( A^{-1} \) の固有値は \( \lambda^{-1} \) である。したがって \( A \) の特性多項式を \( p_A(t) \) とすると、

p_A(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_0

より、\( A^{-1} \) の特性多項式は

t^n + \tfrac{a_1}{a_0} t^{n-1} + \cdots + \tfrac{a_{n-1}}{a_0} t + \tfrac{1}{a_0} = \tfrac{t^n}{a_0} \, p_A(t^{-1})

と表される。以上で示された。