3.3.P18
3.3 問題18
ニュートンの恒等式 (2.4.18–19) は、標準的な行列解析の恒等式をコンパニオン行列に適用することで証明できる。(2.4.P3) と (2.4.P9) の記法を採用し、\( A \in M_n \) を多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_1t + a_0 \) のコンパニオン行列とする。以下の詳細を示せ。
(a) \( p(t) = p_A(t) \) なので \( p(A) = 0 \) であり、したがって
0 = \operatorname{tr}(A^k p(A)) = \mu_{n+k} + a_{n-1}\mu_{n+k-1} + \cdots + a_1\mu_{k+1} + a_0\mu_k, \\
\quad k = 0, 1, 2, \ldots
これは (2.4.19) である。
(b) (2.4.13) を用いて次を示せ。
\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A)) = n t^{n-1} + \operatorname{tr} A^{n-2} t^{n-2} + \cdots + \operatorname{tr} A t + \operatorname{tr} A^0
(2.4.17) を使って、次を示せ。
\operatorname{tr} A^{n-k-1} = \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k}, \\
\quad k = 1, \ldots, n-1
これは (3.3.17) の右辺における \( t^{n-k-1} \) の係数である。他方、(0.8.10.2) より
\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A))
= n t^{n-1} + (n-1)a_{n-1}t^{n-2} + \cdots + 2a_2 t + a_1
したがって左辺の \( t^{n-k-1} \) の係数は \((n-k)a_{n-k}\) である。結論として、
(n-k)a_{n-k} = \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k},
\quad k = 1, \ldots, n-1
これは (2.4.17) と同値である。
ヒント
コンパニオン行列では固有値の冪和がトレースで表されること、すなわち \( \mu_k=\operatorname{tr}(A^k) \) を用いる。またケイリー・ハミルトン定理と余因子行列の展開を組み合わせ、係数比較により恒等式を導く。
解答例
(a) コンパニオン行列 \( A \) の特性多項式は \( p(t)=p_A(t) \) であるから、ケイリー・ハミルトン定理より \( p(A)=0 \) が成り立つ。
両辺に \( A^k \) を左から掛けてトレースをとると、
0=\operatorname{tr}(A^k p(A))
=\operatorname{tr}(A^{n+k}+a_{n-1}A^{n+k-1}+\cdots+a_0 A^k)
トレースの線形性より、
0=\mu_{n+k}+a_{n-1}\mu_{n+k-1}+\cdots+a_1\mu_{k+1}+a_0\mu_k
を得る。これは (2.4.19) である。
(b) 式 (2.4.13) より、
\mathrm{adj}(tI-A)
= A_{n-1} t^{n-1} + A_{n-2} t^{n-2} + \cdots + A_0
であり、トレースをとると
\operatorname{tr}(\mathrm{adj}(tI-A))
= \operatorname{tr}(A_{n-1}) t^{n-1}
+ \operatorname{tr}(A_{n-2}) t^{n-2}
+ \cdots + \operatorname{tr}(A_0)
ここで (2.4.15) および (2.4.17) を用いると、
\operatorname{tr} A^{n-k-1}
= \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k}
が得られる。したがって
\operatorname{tr}(\mathrm{adj}(tI-A))
= n t^{n-1} + \operatorname{tr}A^{n-2} t^{n-2}
+ \cdots + \operatorname{tr}A t + \operatorname{tr}I
となる。
一方、一般公式より
\operatorname{tr}(\mathrm{adj}(tI-A))
= n t^{n-1} + (n-1)a_{n-1} t^{n-2} + \cdots + 2a_2 t + a_1
であるから、係数比較により
(n-k)a_{n-k}
= \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k}
を得る。これを整理するとニュートンの恒等式
k a_{n-k}
+ a_{n-k+1}\mu_1 + \cdots + a_{n-1}\mu_{k-1} + \mu_k = 0
が得られる。
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