[行列解析3.2.P16]正則行列の平方とジョルダン標準形の変化

3.2.P16

3.2問題16

次のことを示せ。\(A \in M_n\) のジョルダン標準形が \(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\) であり、かつ \(A\) が正則であるとする。すると \(A^2\) のジョルダン標準形は

J_{n_1}(\lambda_1^2)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k^2)

となる、すなわち各ジョルダンブロックのサイズは変わらず固有値が二乗される。しかし \(J_m(0)^2\) は \(m\ge 2\) のとき \(J_m(0^2)=J_m(0)\) とはならないことを説明せよ。

行列 \(A\) がジョルダン標準形 \(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\) に相似であるとする。このとき相似変換を用いれば \(A^2\) も対応するジョルダンブロックの二乗で表される。

固有値が \( \lambda \neq 0 \) のジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) は \(J_m(\lambda)=\lambda I + N\)（\(N\) は冪零行列）と書ける。この形を用いると \((\lambda I + N)^2\) を計算できる。

一方で \( \lambda=0 \) の場合はブロックが純粋な冪零行列となるため、二乗すると階数やジョルダンブロックの構造が変化することに注意する。

\(A\in M_n\) のジョルダン標準形が \(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\) であるとする。このときある正則行列 \(P\) が存在して

A = P\left(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\right)P^{-1}

と書ける。よって平方を取ると

A^2 = P\left(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\right)^2 P^{-1}

直和の性質より

\left(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\right)^2 = J_{n_1}(\lambda_1)^2 \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\lambda_k)^2

となる。したがって \(A^2\) のジョルダン構造は各ブロック \(J_{n_i}(\lambda_i)^2\) を調べればよい。

固有値 \( \lambda \neq 0 \) のジョルダンブロックについて考える。ジョルダンブロックは

J_m(\lambda)=\lambda I_m + N

と書ける。ただし \(N\) は上三角で主対角成分が 0、上隣が 1 の冪零行列である。

これを二乗すると

J_m(\lambda)^2 = (\lambda I_m + N)^2 = \lambda^2 I_m + 2\lambda N + N^2

ここで \( \lambda\neq0 \) であるため、行列 \(2\lambda N+N^2\) は依然として同じ長さ \(m\) のジョルダン鎖を保つ冪零部分となる。したがってこの行列は

J_m(\lambda^2)

と相似であり、ブロックサイズは変わらず固有値だけが二乗される。

ゆえに \(A\) が正則（すなわちすべての固有値が \(0\) でない）ならば、

A^2 \sim J_{n_1}(\lambda_1^2)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k^2)

となり、各ジョルダンブロックのサイズは変わらない。

次に固有値が \(0\) の場合を考える。ジョルダンブロック \(J_m(0)\) は

J_m(0)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & 1 & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}

であり、これは冪零行列である。二乗すると

J_m(0)^2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & \\ & 0 & 0 & 1 \\ & & \ddots & 0 \\ & & & 0 \end{pmatrix}

となり、上隣の 1 が消えて 2 つ上の対角に 1 が現れる形になる。したがってジョルダン鎖の長さが分裂し、ジョルダンブロックの大きさは元の \(m\) を保たない。

よって \(m\ge2\) のとき \(J_m(0)^2\) は \(J_m(0^2)=J_m(0)\) と相似ではない。

以上より、正則行列の場合にはジョルダンブロックのサイズは変わらず固有値だけが二乗されるが、固有値が \(0\) の場合にはジョルダン構造が変化することがわかる。