3.2.P15
3.2問題15
\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) が与えられたとする。\( A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B) \)（\( k \) 個の直和）と \( A \oplus (C \oplus \cdots \oplus C) \)（\( k \) 個の直和）が相似であるのは、\( B \) と \( C \) が相似である場合に限ることを示せ。
ヒント
直和行列の相似性はジョルダン標準形や不変量（固有値の重複度など）によって特徴づけられる。 \( A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B) \) と \( A \oplus (C \oplus \cdots \oplus C) \) が相似であれば、これらは同じジョルダン標準形をもつ。
このとき、両者には共通部分として \( A \) が含まれているため、それを取り除いた部分の構造も一致する必要がある。 したがって \( B \) が \( k \) 個並んだ部分と \( C \) が \( k \) 個並んだ部分が相似になり、そこから \( B \) と \( C \) 自身が相似であることが従う。
解答例
まず、\( B \) と \( C \) が相似であると仮定する。すなわち、ある正則行列 \( P \) が存在して \( C = P^{-1}BP \) が成り立つとする。
C = P^{-1} B P
このとき、ブロック対角行列 \( I_n \oplus (P \oplus \cdots \oplus P) \) を考えると、直和の性質より次が成り立つ。
(I_n \oplus (P^{-1} \oplus \cdots \oplus P^{-1}))
(A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B))
(I_n \oplus (P \oplus \cdots \oplus P))
=
A \oplus (C \oplus \cdots \oplus C)
したがって \( A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B) \) と \( A \oplus (C \oplus \cdots \oplus C) \) は相似である。
次に逆を示す。 \( A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B) \) と \( A \oplus (C \oplus \cdots \oplus C) \) が相似であると仮定する。
相似な行列は同じジョルダン標準形をもつので、両者のジョルダンブロック構造は一致する。 ここで直和分解を考えると、両行列はそれぞれ
A \oplus \underbrace{B \oplus \cdots \oplus B}_{k}
および
A \oplus \underbrace{C \oplus \cdots \oplus C}_{k}
というブロック対角構造をもつ。
両者のジョルダン標準形が一致するためには、共通部分である \( A \) に対応するジョルダンブロックを取り除いた残りの部分も一致しなければならない。 したがって
B \oplus \cdots \oplus B \sim C \oplus \cdots \oplus C
が成り立つ。
このとき、各ジョルダンブロックは \( k \) 回ずつ現れるため、1つ分のブロック構造も一致することになる。 したがって \( B \) と \( C \) は同じジョルダン標準形をもち、
B \sim C
が従う。
以上より
A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B) \sim A \oplus (C \oplus \cdots \oplus C) \quad \Longleftrightarrow \quad B \sim C
が成り立つことが示された。
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