3.2.P10
3.2問題10
ある正則行列 \( A \in M_n \) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\lambda_k) \) であるとする。このとき、\(\mathrm{adj}\, A\) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\mu_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\mu_k) \) となり、各 \(\mu_i = \lambda_i^{\,n_i - 1} \prod_{j \neq i} \lambda_j^{\,n_j}\) である理由を説明しなさい。
ヒント
余因子行列には基本公式 \( A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I \) が成り立つ。行列 \(A\) が正則であるときは、これから \( \mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1} \) が従う。したがって \(\mathrm{adj}\,A\) のジョルダン構造は \(A^{-1}\) のジョルダン構造と一致し、固有値のみがスカラー倍される形になる。
また、ジョルダンブロックについては \(J_{n_i}(\lambda_i)^{-1}\) が固有値 \(1/\lambda_i\) をもつ同じ大きさのジョルダンブロックと相似になることを用いる。さらに \(\det(A)\) をジョルダンブロックの固有値から計算すれば、\(\mathrm{adj}\,A\) の固有値が求まる。
解答例
余因子行列の基本公式
A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I
を用いる。ここで \(A\) は正則であるから、両辺に \(A^{-1}\) を掛けると
\mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1}
が得られる。
いま \(A\) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k) \) であるとする。このとき相似変換によって
A \sim J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)
である。
ジョルダンブロックについては \( J_{n_i}(\lambda_i)^{-1} \) が固有値 \(1/\lambda_i\) をもつ同じ大きさのジョルダンブロックと相似になるため
A^{-1}\sim J_{n_1}\!\left(\frac{1}{\lambda_1}\right)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}\!\left(\frac{1}{\lambda_k}\right)
となる。
またジョルダン標準形から行列式は
\det(A)=\lambda_1^{n_1}\lambda_2^{n_2}\cdots\lambda_k^{n_k}
である。
したがって
\mathrm{adj}(A)
=
\det(A)A^{-1}
\sim
\lambda_1^{n_1}\cdots\lambda_k^{n_k}
\left(
J_{n_1}\!\left(\frac{1}{\lambda_1}\right)\oplus\cdots\oplus
J_{n_k}\!\left(\frac{1}{\lambda_k}\right)
\right)
となる。スカラー倍はジョルダンブロックの大きさを変えないので、第 \(i\) ブロックの固有値は
\mu_i
=
\frac{\det(A)}{\lambda_i}
=
\frac{\lambda_1^{n_1}\cdots\lambda_k^{n_k}}{\lambda_i}
となる。
これを整理すると
\mu_i
=
\lambda_i^{\,n_i-1}\prod_{j\ne i}\lambda_j^{\,n_j}
となる。したがって \(\mathrm{adj}\,A\) のジョルダン標準形は \( J_{n_1}(\mu_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\mu_k) \) である。
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