(8.7.P12)
問題
\( A \in M_n \) を二重確率・対称・半正定値行列とし、\( A^{1/2} \) をその半正定値平方根とする。
(a) \( A^{1/2} e = e \) であることを示せ。
したがって、\( A^{1/2} \) のすべての行および列の和は 1 である。
(b) \( A^{1/2} \) は一般には非負でないが、\( n = 2 \) の場合には非負（したがって二重確率）であることを示せ。
解答例
\( A \in M_n \) は二重確率行列、対称行列、かつ半正定値行列であり、\( A^{1/2} \) はその半正定値平方根とする。
(a) \( A^{1/2} e = e \) であることの証明
1. 二重確率行列の固有値と固有ベクトル
\( A \) は二重確率行列であるため、行和がすべて \( 1 \) である。ここで、\( e = (1, 1, \dots, 1)^T \) をすべての成分が \( 1 \) であるベクトルとすると、行和の性質は \( A e = e \) と表現できる。
これは、\( e \) が \( A \) の固有値 \( \lambda = 1 \) に対応する固有ベクトルであることを示している。
2. 対称行列の固有値の性質
\( A \) は対称行列であるため、実対称行列の性質より、その固有値はすべて実数である。
3. 半正定値行列の固有値の性質
\( A \) は半正定値行列であるため、すべての固有値 \( \lambda_i \) は非負である。
つまり \( \lambda_i \ge 0 \) である。
4. \( A^{1/2} \) の固有値と固有ベクトル
\( A^{1/2} \) は \( A \) の半正定値平方根、すなわち \( (A^{1/2})^2 = A \) かつ \( A^{1/2} \) が半正定値である行列である。
\( A \) が固有値 \( \lambda \) と固有ベクトル \( x \) をもつとき、\( A x = \lambda x \) である。
\( A^{1/2} \) の固有値は \( A \) の固有値の非負の平方根となる。特に、\( A \) の固有値が \( 1 \) であることから、\( A^{1/2} \) の対応する固有値は \( \sqrt{1} = 1 \) である。
したがって、\( A e = 1 \cdot e \) が成り立つことから、\( A^{1/2} \) の固有値 \( 1 \) に対応する固有ベクトルは \( e \) である。すなわち、
A^{1/2} e = 1 \cdot e = eが成り立つ。\(\square\)
5. 結論: 行列和の性質
\( A^{1/2} e = e \) は、\( A^{1/2} \) の各行の成分の和が \( 1 \) であることを意味する。
また、\( A \) は対称行列であるため、\( A^{1/2} \) も一意に対称行列となる（\( A^{1/2} = (A^{1/2})^T \) である）。
対称行列の性質 (\( A^{1/2} = (A^{1/2})^T \)) と行和が \( 1 \) である性質から、\( A^{1/2} \) の列和も \( 1 \) であることが導かれる。
(A^{1/2})^T e = A^{1/2} e = eこれは \( A^{1/2} \) の列和が \( 1 \) であることを示している。
(b) \( n=2 \) の場合、\( A^{1/2} \) が非負（二重確率）であることの証明
1. \( n=2 \) の二重確率・対称行列の一般形
\( 2 \times 2 \) の二重確率・対称行列 \( A \) は、\( 0 \le \alpha \le 1 \) を用いて次のように表される（(8.7.P11)の解答より）。
A = \begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\ 1-\alpha & \alpha \end{pmatrix}2. 固有値と固有ベクトル
\( A \) の固有方程式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) を解くと、
(\alpha - \lambda)^2 - (1-\alpha)^2 = 0 \\ \lambda = \alpha \pm (1-\alpha)
固有値は \( \lambda_1 = \alpha + (1-\alpha) = 1 \) と \( \lambda_2 = \alpha - (1-\alpha) = 2\alpha - 1 \) である。
\( A \) が半正定値である条件 (\(\lambda_i \ge 0\)) は \( 2\alpha - 1 \ge 0 \Rightarrow \alpha \ge 1/2 \) となる。よって、\( 1/2 \le \alpha \le 1 \) である。
3. \( A^{1/2} \) の計算
\( A^{1/2} \) の固有値は \( \sqrt{\lambda_1} = 1 \) と \( \sqrt{\lambda_2} = \sqrt{2\alpha - 1} \) である。
\( A^{1/2} \) は \( A \) と同じ固有ベクトルをもち、対称行列であるため、\( A^{1/2} \) の一般形は \( A \) と同様の構造をもつ。
A^{1/2} = \begin{pmatrix} x & 1-x \\ 1-x & x \end{pmatrix}ここで、\( x \) は \( 1/2 \le x \le 1 \) を満たす未知数である。
\( x \) を求めるために \( (A^{1/2})^2 = A \) を解く。
\begin{align}
& \begin{pmatrix} x & 1-x \\ 1-x & x \end{pmatrix}^2 \notag \\
& =\begin{pmatrix} x^2+(1-x)^2 & x(1-x)+(1-x)x \\
(1-x)x+x(1-x) & (1-x)^2+x^2 \end{pmatrix} \notag \\
&= \begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\ 1-\alpha & \alpha \end{pmatrix} \notag
\end{align}成分を比較すると、
x^2 + (1-x)^2 = \alpha \\ 1 - 2x + x^2 + x^2 = \alpha \\ x-x^2+x - x^2= 1 - \alpha
解の公式より二次方程式\(2x^2-2x+1-a=0\)を解くと、 \( x \) は、
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(1-\alpha)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 + 8\alpha}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{8\alpha - 4}}{4} \\
x = \frac{1 \pm \sqrt{2\alpha - 1}}{2}\( A^{1/2} \) の固有値が \( 1 \) と \( \sqrt{2\alpha - 1} \) であることから、\( x \) は \( A^{1/2} \) の固有値の平均として得られる\( x = \frac{1 + \sqrt{2\alpha - 1}}{2} \) である。
（\( A^{1/2} \) のトレースが \( 2x = 1 + \sqrt{2\alpha - 1} \) に等しいため）。
x = \frac{1 + \sqrt{2\alpha - 1}}{2}よって、
A^{1/2} = \begin{pmatrix} \frac{1 + \sqrt{2\alpha - 1}}{2} & \frac{1 - \sqrt{2\alpha - 1}}{2} \\ \;\\ \frac{1 - \sqrt{2\alpha - 1}}{2} & \frac{1 + \sqrt{2\alpha - 1}}{2} \end{pmatrix}4. 非負性の確認
\( A^{1/2} \) の成分は \( x \) と \( 1-x \) である。
\( 1/2 \le \alpha \le 1 \) より \( 2\alpha - 1 \ge 0 \) である。
まず \( x \ge 0 \) であることは明らかである。
次に \( 1-x \ge 0 \) を示す。これには \( x \le 1 \) であることを示せばよい。
x = \frac{1 + \sqrt{2\alpha - 1}}{2} \le 1これは \( 1 + \sqrt{2\alpha - 1} \le 2 \) と同値であり、さらに \( \sqrt{2\alpha - 1} \le 1 \) と同値である。
二乗すると \( 2\alpha - 1 \le 1 \)、すなわち \( 2\alpha \le 2 \Rightarrow \alpha \le 1 \) となる。これは二重確率行列の前提条件に含まれている。
したがって、\( x \ge 0 \) かつ \( 1-x \ge 0 \) であり、\( A^{1/2} \) のすべての成分は非負である。
5. 結論
\( n=2 \) の場合、\( A^{1/2} \) は (a) より行和・列和が \( 1 \) であり、(b) より非負である。よって、\( A^{1/2} \) は二重確率行列である。\(\square\)
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