目次
- 8.7.1 補題：非単位二重確率行列における置換の存在
- 8.7.2
8.7 ストキャスティック行列(確率行列)と二重ストキャスティック行列
非負行列 \( A \in M_n \) が \( Ae = e \) を満たすとき、すなわちその各行の総和がすべて +1 であるとき、行ストキャスティック（stochastic）行列という。
このとき各行は、\( n \) 個の点をもつ標本空間上の離散確率分布とみなすことができる。
列ストキャスティック行列とは、行ストキャスティック行列の転置、すなわち \( e^T A = e^T \) を満たす行列のことである。
このような行列は、節 (8.0) で扱った都市間人口移動モデルにおいて現れる。
ストキャスティック行列はまた、マルコフ連鎖の研究や経済学、オペレーションズリサーチのさまざまなモデリング問題にも登場する。
定義式 \( Ae = e \) と式 (8.3.4) から、+1 がストキャスティック行列の固有値であるだけでなく、そのスペクトル半径でもあることがわかる。
\( M_n \) におけるストキャスティック行列の集合は、すべての成分が閉区間 [0, 1] に含まれるためコンパクトであり、さらに凸集合でもある。実際、もし \( A, B \) がストキャスティックで \( \alpha \in [0,1] \) ならば、
(\alpha A + (1 - \alpha)B)e = \alpha Ae + (1 - \alpha)Be = \alpha e + (1 - \alpha)e = e
したがって、\( M_n \) のストキャスティック行列は、共通の正の固有ベクトル \( e \) をもつ非負行列族であることがわかる。正の固有ベクトルをもつ非負行列には多くの特別な性質があり（例：(8.1.30)、(8.1.31)、(8.1.33)、(8.3.4) など）、したがってこれらの性質はすべてストキャスティック行列にも当てはまる。
練習問題
\( n \times n \) のストキャスティック行列には、少なくとも \( n \) 個の非零成分が存在することを説明せよ。
行ストキャスティック行列 \( A \in M_n \) が転置後もストキャスティックである場合、\( A \) を二重ストキャスティック（doubly stochastic）行列という。
このとき、すべての行と列の総和が +1 である。
\( M_n \) における二重ストキャスティック行列の集合は、2つのコンパクトで凸な集合の交わりであるため、やはりコンパクトかつ凸である。
すなわち、非負行列 \( A \in M_n \) が二重ストキャスティックであることと、
Ae = e, \quad e^T A = e^T
が成り立つことは同値である。
節 (4.3.49) および (6.3.5) で、二重ストキャスティック行列の2つの特別なクラスを見た。それは、\( U = [u_{ij}] \in M_n \) が実直交またはユニタリ行列であるときの、\( A = [|u_{ij}|^2] \) の形をもつオルソストキャスティック（orthostochastic）あるいはユニストキャスティック（unistochastic）行列である。
もう一つの特別な二重ストキャスティック行列のクラスは、置換行列の集合（群）である。
置換行列は二重ストキャスティック行列の基本的かつ典型的な例であり、ビルコフの定理（Birkhoff’s theorem）によれば、任意の二重ストキャスティック行列は有限個の置換行列の凸結合として表される。
練習問題
\( n \ge 2 \)、\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が二重ストキャスティックで、ある \( a_{ii} = 1 \) を満たすと仮定する。このとき次を説明せよ。
(a) 任意の \( k \in \{1, \ldots, n\} \) で \( k \ne i \) のとき、\( a_{ki} = a_{ik} = 0 \) である。
(b) \( A \) は、二重ストキャスティックな行列 \( B \) に対して、\( [1] \oplus B \) に置換相似である。
(c) \( B \) の主対角成分は、\( A \) の主対角成分から +1 の項を1つ除いたものである。
(d) \( A \) と \( B \) の特性多項式は、恒等式 \( p_A(t) = (t - 1)p_B(t) \) によって関係づけられる。
次に、ビルコフの定理の証明に備えて、次の補題を導入する。
行列解析の総本山
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