[行列解析8.7.P1]確率行列および二重確率行列の集合が半群を構成する

(8.7.P1)

問題

\( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。

すなわち、\( A, B \in M_n \) が（それぞれ二重）確率行列であるならば、\( AB \) もまた（それぞれ二重）確率行列であることを示せ。

集合が演算に関して半群を構成するには、その集合がその演算（この場合は行列積）に関して閉じていること（閉鎖性）を示せば十分です。

定義: \( n \times n \) 行列 \( A=(a_{ij}) \) が確率行列であるとは、以下の2条件を満たすことをいう。

閉鎖性の証明: \( A \) と \( B \) を任意の確率行列とし、\( C = AB \) の \( (i, k) \) 成分を \( c_{ik} \) とする。

c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk}

\sum_{k=1}^{n} c_{ik} = \sum_{k=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} \right) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \left( \sum_{k=1}^{n} b_{jk} \right)

\( B \) が確率行列であることから \( \sum_{k=1}^{n} b_{jk} = 1 \) が成り立つため、

\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (1) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}

さらに \( A \) が確率行列であることから \( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 1 \) が成り立つ。したがって、\( \sum_{k=1}^{n} c_{ik} = 1 \) となり、\( C=AB \) も確率行列である。

結論: 確率行列の集合は行列積に関して半群を構成する。

定義: \( A \) が二重確率行列であるとは、確率行列の条件に加え、列和も 1 であることをいう。

閉鎖性の証明: \( A \) と \( B \) を任意の二重確率行列とし、\( C = AB \) とする。

\sum_{i=1}^{n} c_{ik} = \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} \right) = \sum_{j=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \right) b_{jk}

\( A \) が二重確率行列であることから \( \sum_{i=1}^{n} a_{ij} = 1 \) が成り立つため、

\sum_{j=1}^{n} (1) b_{jk} = \sum_{j=1}^{n} b_{jk}

\( B \) が二重確率行列であることから \( \sum_{j=1}^{n} b_{jk} = 1 \) が成り立つ。したがって、\( \sum_{i=1}^{n} c_{ik} = 1 \) となり、\( C=AB \) も二重確率行列である。

結論: 二重確率行列の集合は行列積に関して半群を構成する。