8.7.6 フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）
定理 8.7.6（フォン・ノイマン）
\( A, B \in M_n \) の特異値をそれぞれ大きい順に並べて
\sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_n(A), \quad \sigma_1(B) \ge \cdots \ge \sigma_n(B)
とする。このとき、次の不等式が成り立つ。
\operatorname{Re} \operatorname{tr}(AB) \le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
証明.
\( A = V_1 \Sigma_A W_1^* \)、\( B = V_2 \Sigma_B W_2^* \) をそれぞれの特異値分解とする。ただし、\( V_1, W_1, V_2, W_2 \in M_n \) はユニタリ行列、\( \Sigma_A = \mathrm{diag}(\sigma_1(A), \ldots, \sigma_n(A)) \)、\( \Sigma_B = \mathrm{diag}(\sigma_1(B), \ldots, \sigma_n(B)) \) である。
ここで、
U = W_1^* V_2 = [u_{ij}], \quad V = W_2^* V_1 = [v_{ij}]
とおくと、
\operatorname{Re} \operatorname{tr}(AB)
= \operatorname{Re} \operatorname{tr}(V_1 \Sigma_A W_1^* V_2 \Sigma_B W_2^*)
= \operatorname{Re} \operatorname{tr}(\Sigma_A W_1^* V_2 \Sigma_B W_2^* V_1)
= \operatorname{Re} \operatorname{tr}(\Sigma_A U \Sigma_B V)
したがって、
\operatorname{Re} \operatorname{tr}(AB)
= \sum_{i,j=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_j(B) \operatorname{Re}(u_{ij}v_{ji})
\le \sum_{i,j=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_j(B) |u_{ij}v_{ji}|
前節の練習問題により、行列 \([|u_{ij}v_{ji}|]\) は二重劣確率行列であることがわかる。補題 (8.7.5) により、これを上から抑える二重確率行列 \( C = [c_{ij}] \) が存在して
[|u_{ij}v_{ji}|] \le C
が成り立つ。したがって、
\operatorname{Re} \operatorname{tr}(AB)
\le \sum_{i,j=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_j(B)c_{ij}
\le \max \left\{ \sum_{i,j=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_j(B)s_{ij} : S = [s_{ij}] \text{ が二重確率行列} \right\}
関数 \( f(S) = \sum_{i,j=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_j(B)s_{ij} \) は二重確率行列全体上で線形（したがって凸）な関数である。したがって、定理 (8.1.4) により、その最大値は置換行列 \( P = [p_{ij}] \) において達成される。
置換 \( \pi \) を \( p_{ij} = 1 \iff j = \pi(i) \) によって定義すると、
\operatorname{Re} \operatorname{tr}(AB)
\le \sum_{i,j=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_j(B)p_{ij}
= \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_{\pi(i)}(B)
\le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
最後の不等式は (4.3.52) に従う。これで定理が証明された。
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2025.08.05
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