[行列解析8.4.P13]

8.4.問題13

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が既約かつ非負であるとし、\( x = [x_i] \)、\( y = [y_i] \) をそれぞれ \(A\) の右ペロンベクトルおよび左ペロンベクトルとする。

(a) 各 \( i, j \in \{1, \ldots, n\} \) に対し、\( \rho(A) \) が \( a_{ij} \) の微分可能関数であり、

\frac{\partial \rho(A)}{\partial a_{ij}} = x_i y_j

が成り立つことを説明せよ。

(b) すべての \( i, j \) に対して \(\frac{\partial \rho(A)}{\partial a_{ij}} \gt 0\) である理由を説明せよ。